§ 3. Теорема взаимности. Потенциалы теории упругости

3.1. Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872).

Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений задающих эти состояния, определяются тензоры деформации

а по ним — тензоры напряжений

Теперь находим массовые и поверхностные силы, которые должны быть приложены к телу, чтобы осуществить эти состояния:

Доказывается, что работа внешних сил первого состояния на перемещениях, соответствующих второму состоянию, равна работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:

Заменив в левой части этого равенства силы их выражениями (3.1.3) и используя преобразования (II. 3.10) и (II. 5.5), имеем

так что

и, конечно,

Остается убедиться в равенстве правых частей. Это следует из

так как вместе с тем

Итак, правая часть (3.1.6) одинаковым образом записи от величин первого и второго состоянии, что доказывает теорему.

Формулировка теоремы взаимности усложняется в применении к неодносвязному объему, если не исключается возможность неоднозначности перемещений. См. п. 5.3 этой главы.