§ 3. Теорема взаимности. Потенциалы теории упругости
3.1. Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872).
Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений
задающих эти состояния, определяются тензоры деформации
а по ним — тензоры напряжений
Теперь находим массовые и поверхностные силы, которые должны быть приложены к телу, чтобы осуществить эти состояния:
Доказывается, что работа внешних сил первого состояния на перемещениях, соответствующих второму состоянию, равна работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:
Заменив в левой части этого равенства силы их выражениями (3.1.3) и используя преобразования (II. 3.10) и (II. 5.5), имеем
так что
и, конечно,
Остается убедиться в равенстве правых частей. Это следует из
так как
вместе с тем
Итак, правая часть (3.1.6) одинаковым образом записи
от величин первого и второго состоянии, что доказывает теорему.
Формулировка теоремы взаимности усложняется в применении к неодносвязному объему, если не исключается возможность неоднозначности перемещений. См. п. 5.3 этой главы.