2.8. Сосредоточенная сила (Карман и Зеевальд, 1927).

Функция задающая закон нагружения, может быть определена не рядом, а интегралом Фурье

Здесь косинус и синус Фурье-трансформанты:

Тогда решение уравнения (2.7.1) также представится интегралом Фурье

причем - Фурье-трансформанты:

Далее рассматривается задача об опертой по краям балке, нагруженной нормально к ее продольной стороне сосредоточенной в точке силой и уравновешивающими ее силами — (реакциями опор) на краях Изгибающий момент в поперечном сечении х при таком загружении задается «треугольной» эпюрой

Представление этой четной по х функции интегралом Фурье записывается в виде

По (2.4.7), учитывая, что при только нормальном нагружении и заменив на представим функцию напряжений в таком виде:

Здесь выделено слагаемое, соответствующее решению элементарной теории изгиба. Поэтому разложение в степенной ряд по

X подынтегрального выражения во втором интеграле начнется со слагаемого второй степени.

Нормальное напряжение представляется выражением

Отсюда находим не учитываемое элементарной теорией нормальное напряжение на оси балки

и напряжения на ее продольных сторонах

На стороне это напряжение определяется сходящимся интегралом

тогда как на нагруженной сосредоточенными силами стороне полосы сходимость, естественно, теряется. Получаемое выражение легко приводится к виду

Замечая, что

и вспоминая представление дельта-функции с помощью интеграла Фурье

приходим к выражению

Выражение

следует назвать функцией влияния от единичной силы в точке Корректирующие вычисляемое по элементарной теории значение слагаемые формулы (2.8.8) определяют действие сил в точке и точках Знание функций влияния позволяет записать выражения корректирующих элементарную теорию слагаемых при действии распределенной нагрузки. Например, для нагружения

имеем

и нормальное напряжение определяется выражением

Здесь изгибающий момент в опертой по краям балке при рассматриваемом нагружении.

Графики по х нормальных и касательных напряжений, создаваемых сосредоточенной силой при приведены в работе Зеевальда. Естественно, что возмущения напряжений, вычисляемых по элементарной теории, простираются на расстояния, сравнимые с толщиной балки Отличие даже напряжения от вычисляемого по элементарной теории практически исчезает уже при

Уравнение упругой линии составляется по формуле (2.4.12)

Введя в рассмотрение элементарное решение (2.6.3):

и вычитая его представление интегралом Фурье из (2.8.9), найдем выражение поправки к элементарной теории в виде

Постоянную следует определить условием Введенные в (2.8.11) слагаемые уничтожаются с двумя первыми членами разложения в ряд выражения

Это гарантирует сходимость интеграла (2.8.11) при малых .

Из сопоставления формул (2.8.2) и (2.8.7) легко заключить, что слагаемыми в интеграле (2.8.11), имеющими множитель учтено действие сил — в точках

отбрасывая этот множитель и заменив х на придем к выражению

определяющему поправку к вычисляемому по элементарной теории прогибу от сосредоточенной в точке силы