ГЛАВА II. ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Линейный тензор деформации
1.1. Обзор содержания главы.
Как говорилось в п. 1.1 гл. 1, переход из начального состояния среды (из
-объема) в ее конечное состояние
-объем) определяется заданием вектора перемещения и точек среды. Построение механики сплошной среды нуждается в математическом средстве, обеспечивающем возможность определения по этому векторному полю изменения расстояний между точками среды и углов между отмеченными направлениями в данной точке.
Задача состоит в том, чтобы проследить за изменением длины и направления любого бесконечно малого отрезка v-объема, задаваемого вектором
и несущего те же частицы вектора
-объема
Речь здесь идет о сопоставлении вектора
вектору
и естественно, что решение связывается с введением в рассмотрение тензора второго ранга. Действительно, рассматривая вектор-радиус
точки V-объема как функцию материальных координат, за каковые можно принять, в частности, декартовы координаты
этой точки в v-объеме, имеем по (II. 2.11)
где
тензор второго ранга — градиент вектора
. С помощью этого несимметричного тензора строится симметричный тензор второго ранга, называемый ниже тензором первой меры деформации (Коши — Грина), позволяющий дать решение поставленного выше вопроса об изменении длин отрезков и углов в v-объеме.
Этим не исчерпывается вопрос о величинах, характеризующих деформацию, так как имеет значение и обратная задача —