ГЛАВА II. ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ 1. Линейный тензор деформации

1.1. Обзор содержания главы.

Как говорилось в п. 1.1 гл. 1, переход из начального состояния среды (из -объема) в ее конечное состояние -объем) определяется заданием вектора перемещения и точек среды. Построение механики сплошной среды нуждается в математическом средстве, обеспечивающем возможность определения по этому векторному полю изменения расстояний между точками среды и углов между отмеченными направлениями в данной точке.

Задача состоит в том, чтобы проследить за изменением длины и направления любого бесконечно малого отрезка v-объема, задаваемого вектором

и несущего те же частицы вектора -объема

Речь здесь идет о сопоставлении вектора вектору и естественно, что решение связывается с введением в рассмотрение тензора второго ранга. Действительно, рассматривая вектор-радиус точки V-объема как функцию материальных координат, за каковые можно принять, в частности, декартовы координаты этой точки в v-объеме, имеем по (II. 2.11)

где тензор второго ранга — градиент вектора . С помощью этого несимметричного тензора строится симметричный тензор второго ранга, называемый ниже тензором первой меры деформации (Коши — Грина), позволяющий дать решение поставленного выше вопроса об изменении длин отрезков и углов в v-объеме.

Этим не исчерпывается вопрос о величинах, характеризующих деформацию, так как имеет значение и обратная задача —

определение в -объеме вектора заданного в -объеме вектором Ее решение приводит к введению второй меры деформации.

Еще одной существенно важной геометрической задачей является определение по заданной материальной ориентированной площадке в -объеме соответствующей ей в -объеме площадки Эта задача и ей обратная — нахождение по решаются введением еще двух мер деформации, определяемых тензорами второго ранга, обратными первой и второй мерам (см. ).

Из равенства (1.1.3) гл. I следует, что

Рис. 8.

В линейной теории упругости нет нужды в использовании перечисленных мер деформации; в ней основываются на вполне приемлемом при рассмотрении деформации массивных и слабо деформируемых тел предположении о существенной малости элементов матрицы тензора

Этим допускается последовательное пренебрежение квадратами и произведениями компонент тензора по сравнению с их первыми степенями. При таком допущении для описания деформированного состояния достаточно ввести один симметричный тензор второго ранга, называемый далее линейным тензором деформации.