4.7. Эластостатическая задача Робена.

Нетривиальное собственное решение задачи примем за плотность первого потенциала, решающего задачу Распределение

поверхностных сил на О, соответствующее так заданной плотности, по (4.4.1), (4.6.1) и (4.3.10) будет

Этим дается истолкование механического значения собственного решения второй внутренней задачи.

Первый потенциал теории упругости, образуемый по плотности обозначим

Эта непрерывная во всем пространстве функция определяет вектор перемещения

Вычисляемые по (4.3.11) поверхностные силы на О, соответствующие вектору перемещения задачи оказываются равными нулю;

что следует из определения (4.6.1) плотности Но перемещение во второй внутренней задаче при отсутствии поверхностных сил может быть только перемещением твердого тела

и по непрерывности потенциала простого слоя (4,7.2)

Представим себе твердое тело, впаянное в полость неограниченной упругой среды. Сообщим ему перемещение, определяемое вектором (4.7.5). Это создает в иоле перемещений задаваемое первым потенциалом (4.7.2), причем взятое со знаком минус собственное решение задачи определяет распределение по поверхности смещенного твердого тела реакций среды на него (напомним, что в (4.7.1) — единичный вектор нормали, направленной внутрь

Эта задача о напряженном состоянии упругой среды, возникающем при сообщении перемещения впаянному в нее твердому

телу, представляет аналог задачи Робена электростатики. Постоянству потенциала на проводящей поверхности и внутри нее соответствует твердое перемещение объема , а отсутствию поля электрического напряжения — отсутствие напряженного состояния в Угобъеме. Задача Робена сводится к разысканию распределения заряда на проводнике О из однородного интегрального уравнения для плотности потенциала простого слоя; этому соответствует сведение эластостатической задачи Робена к разысканию собственного вектора задачи По). Существование решения эластостатической задачи Робена гарантируется наличием нетривиального собственного решения интегрального уравнения

Главный вектор и главный момент системы сил, которые надо приложить к впаянному в среду твердому телу, чтобы сообщить ему перемещение (4.7.5), определяются из уравнений статики

Назовем через

распределения поверхностных сил по О, вызываемые приложением к твердому телу единичной силы с линией действия по оси и соответственно единичного момента относительно этой оси. Тогда по (4.7.7)

так как линией действия равнодействующей сил а является ось а распределения сил а статически эквивалентны парам.

Через

назовем систему собственных решений интегрального уравнения Очевидно, что любое перемещение впаянного в твердого

тела является линейной комбинацией этих элементарных перемещений. Формулы (4.7.9) теперь переписываются в виде

Этим определяется система распределений поверхностных сил — собственных решений интегрального уравнения , ортонормированных с системой (4.7.10) собственных решений задачи [см. (4.2.11)].