1.2. Потенциалы деформации.

Рассматривается единичный объем идеально-упругого тела в его начальном состоянии

(-объем). Согласно первому закону термодинамики удельная элементарная работа внешних сил сложенная с подведенным элементарным количеством тепла (выраженным в механических единицах), равна приращению внутренней энергии гл. III):

Добавив сюда определение энтропии в обратимом равновесном процессе

где — абсолютная температура, и сославшись на выражение (3.5.8) гл. 1 элементарной работы, имеем

Рассматривая теперь внутреннюю энергию как функцию семи независимых переменных — шести компонент тензора деформации и энтропии имеем

и вследствие независимости вариаций

Напомним, что контравариантные компоненты тензора напряжений -объеме, ковариантные компоненты § в метрике -объема; подстрочные индексы, как принято в термодинамике, напоминают, каким переменным при дифференцировании приписываются постоянные значения. Итак, знание внутренней энергии определяет закон состояния среды — зависимость компонент тензора напряжений и температуры от деформаций и энтропии. Выражение закона состояния через температуру и компоненты деформации определяется заданием свободной энергии Вариация этого термодинамического потенциала (2.2.3) гл. III равна по (1.2.3)

так что

При адиабатическом процессе деформирования отсутствует приток тепла, и по (1.2.1)

Аналогичное заключение делается при изотермическом процессе, но тогда и функцией, полный дифференциал которой равен удельной элементарной работе, оказывается свободная энергия

Итак, в том и другом процессах может быть введена в рассмотрение величина, называемая удельной потенциальной энергией деформации. Эта величина, обозначаемая А, зависит от компонент тензора деформации, а ее вариация равна

Сохранив одно и то же наименование и обозначение для удельной потенциальной энергии деформации, не следует забывать, что речь идет о двух отличных друг от друга величинах. В адиабатическом процессе А отождествляется с внутренней, в изотермическом — со свободной энергией. В определяемые ими законы состояния, внешне описываемые одинаковыми соотношениями, входят отличные друг от друга модули упругости - «адиабатические» в первом процессе, «изотермические» - во втором. См. п. 2.3 гл. III.

Выражения контравариантных компонент тензора напряжений через удельную потенциальную энергию записываются в виде

или же в виде

Эта запись предохраняет от возможных ошибок; в ней считаются отличными друг от друга.

Потенциальная энергия деформации тела, обозначаемая а, равна интегралу по -объему от удельной потенциальной энергии:

Ее вариация равна

и знак вариации мог быть внесен под знак интеграла, поскольку -объем не варьируется. Отсюда следует возможность отождествления вариации да с элементарной работой внешних массовых и поверхностных сил. Этим объясняется необходимость относить удельную потенциальную энергию деформации к единице начального объема (, а не -объема).