4.3. Необходимые условия равновесия.
Вектор массовой силы в 
-объеме обозначается К, объемной 
Уравнения равновесия в V- и в 
-объемах записываются в форме (3.3.2) гл. I:
Из них следует равенство
Величина в скобках представляется в виде
Вместе с тем, вычисляя дивергенцию тензора 
имеем [см. (V. 4.7)]
и, возвращаясь к (4.3.3), приходим к равенству
Переходим к уравнению равновесия на поверхности; сила 
действующая на элемент поверхности 
равна
и уравнение равновесия на О по (4.1.15), (4.2.2) представляется в виде
После замены
получаем
или, сославшись на (4.2.2),
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности оказались выраженными через один и тот же несимметричный тензор второго ранга
Это можно было предвидеть, так как уравнение равновесия в объеме выражает условие обращения в нуль главного вектора
внешних сил, действующих на любой объем V, мысленно выделенный в 
-объеме:
Заменив подынтегральные выражения их вышеприведенными значениями
получаем
и при обозначении (4.3.7) снова приходим к уравнению равновесия (4.3.4). Внешне полученные уравнения равновесия
напоминают уравнения равновесия
но не надо забывать, что тензор 
не равен разности тензоров 
определяемой тензором 
:
Несимметрию тензора 
, обусловленную наличием слагаемого 
следует объяснить поворотом объемного элемента при деформации 
-объема.
Тензор 
представляет линейный дифференциальный оператор над вектором 
При отсутствии добавочных массовых и поверхностных сил 
задача разыскания 
сведется к однородной системе линейных относительно 
дифференциальных уравнений второго порядка с однородными краевыми условиями. Это — так называемые уравнения нейтрального равновесия. Они допускают, конечно, тривиальное решение 
Но могут иметь место решения, отличные от тривиального, когда наряду с рассматриваемым состоянием равновесия 
-объема, нагруженного силами 
существуют близкие к нему равновесные состояния. Значения параметров нагружения, для которых уравнения нейтрального равновесия имеют нетривиальное решение, называются бифуркационными. Сформулированная однородная краевая задача позволяет найти бифуркационные
параметры, но не определяет целиком форм равновесия У-объе-ма, отличающихся от исходной. Их разыскание потребовало бы рассмотрения полных уравнений равновесия 
-объема.
