1.4. Плоское напряженное состояние.
Объемные и поверхностные силы и в этом случае перпендикулярны оси
Предполагается, что частное решение, соответствующее действию объемных сил, реализуемое в упругом теле, известно. Поэтому в дальнейшем рассмотрении объемные силы не учитываются.
Рассматривается напряженное состояние, в котором отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных оси
Оно называется плоским напряженным состоянием. Конечно, однородные уравнения статики в объеме записываются в виде (1.2.1), и им можно удовлетворить введением функции напряжений Эри
Однако ни откуда не следует, что эта функция, значит и напряжения, не зависит от
Действительно, зависимости Бельтрами теперь следует записать в виде
Сложив первое и второе уравнения и учитывая шестое, нетрудно увидеть, что и в плоском напряженном состоянии функция напряжений является бигармонической по переменным
Три последних уравнения (1.4.3) дают
где с — постоянная,
- гармоническая функция. В рассмотрение вводится бигармоническая функция
лапласиан которой равен
По (1.4.5) получаем теперь
причем
функция, гармоническая по х, у. Подстановка в три первых уравнения (1.4.3) дает соотношения
Из них, учитывая, что
имеем
где
произвольные функции
Отсюда находим
где
гармонические функции. Подстановка в (1.4.6) теперь приводит к выражению
в котором
можно включить в состав бигармонической функции
а группу слагаемых
отбросить, не меняя напряженного состояния. Приходим к такому выражению функции напряжений:
причем
блгармоническая,
гармоническая функция:
Здесь определен общий класс напряженных состояний, удовлетворяющих условиям (1.4.1), уравнениям статики (1.2.1) и зависимостям Бельтрами (1.4.3).
Напряжения оказываются квадратично зависящими от
Поэтому плоское напряженное состояние реализуемо в упругом теле лишь при условии, что и силы на его боковой поверхности распределены по такому же закону.