1.4. Плоское напряженное состояние.

Объемные и поверхностные силы и в этом случае перпендикулярны оси Предполагается, что частное решение, соответствующее действию объемных сил, реализуемое в упругом теле, известно. Поэтому в дальнейшем рассмотрении объемные силы не учитываются.

Рассматривается напряженное состояние, в котором отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных оси

Оно называется плоским напряженным состоянием. Конечно, однородные уравнения статики в объеме записываются в виде (1.2.1), и им можно удовлетворить введением функции напряжений Эри

Однако ни откуда не следует, что эта функция, значит и напряжения, не зависит от Действительно, зависимости Бельтрами теперь следует записать в виде

Сложив первое и второе уравнения и учитывая шестое, нетрудно увидеть, что и в плоском напряженном состоянии функция напряжений является бигармонической по переменным

Три последних уравнения (1.4.3) дают

где с — постоянная, - гармоническая функция. В рассмотрение вводится бигармоническая функция лапласиан которой равен

По (1.4.5) получаем теперь

причем функция, гармоническая по х, у. Подстановка в три первых уравнения (1.4.3) дает соотношения

Из них, учитывая, что имеем

где произвольные функции Отсюда находим

где гармонические функции. Подстановка в (1.4.6) теперь приводит к выражению

в котором можно включить в состав бигармонической функции а группу слагаемых

отбросить, не меняя напряженного состояния. Приходим к такому выражению функции напряжений:

причем блгармоническая, гармоническая функция:

Здесь определен общий класс напряженных состояний, удовлетворяющих условиям (1.4.1), уравнениям статики (1.2.1) и зависимостям Бельтрами (1.4.3).

Напряжения оказываются квадратично зависящими от Поэтому плоское напряженное состояние реализуемо в упругом теле лишь при условии, что и силы на его боковой поверхности распределены по такому же закону.