2.9. О задании удельной потенциальной энергии деформации.

Выбор-формы зависимости удельной потенциальной энергии деформации от инвариантных характеристик деформации представляет трудную и, конечно, неразрешимую единственным образом задачу. Можно указать ряд критериев, которым должна удовлетворять разумно назначаемая зависимость.

Свойство упругого материала накоплять энергию при деформировании приводит к требованию положительности удельной потенциальной энергии деформации А для всякого сопровождающегося деформацией («нетвердого») перемещения из натурального состояния (принимается, что в этом состоянии

В натуральном состоянии [см. (2.6.8)]

и поэтому представление А (61,62,63) степенным рядом в окрестности натурального состояния начинается с квадратичных по слагаемых

Необходимым критерием пригодности выбранного представления является положительность квадратичной формы

— матрица удовлетворять известным неравенствам Сильвестра. Этим гарантируется положительность А в некоторой окрестности натурального состояния, но, конечно, не во всей области значений

По формулам (2.6.7), (2.6.5) имеем

и, далее,

Введя обозначения постоянных

придем к представлению удельной потенциальной энергии деформации

или, при обозначениях (2.7.3),

Выписанные явно слагаемые дают выражение удельной потенциальной энергии деформации «гармонического» («полулинейного») материала. Необходимые (конечно, недостаточные) критерии положительности А представляются теперь в форме необходимых и достаточных критериев положительности этой величины в линейной теории упругости [см. (3.3.7) гл. III]:

или, по (2.9.4),

Можно предложить также статические критерии — поведение материала не должно противоречить интуитивно ожидаемым представлениям. Один из таких критериев формулируется неравенствами:

Пусть Тогда и по (2.6.6), (2.6.4) получаем неравенство

Второй множитель положителен; пришли к неравенствам (Тру-сделл)

Было получено одно из них (для ), но аналогично доказываются остальные. Если же то неравенства (2.9.11) сохраняются для теперь суждение о знаке величины

достигается предельным переходом: при эта величина положительна при сколь угодно малом Поэтому при она или сохраняет знак, или становится нулем: