2.3. Метод Ритца.
Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления.
В методе Ритца (1909) дифференциальное уравнение (2.2.11) и статическое краевое условие (2.2.12) не рассматриваются, так как наперед известно, что они автоматически удовлетворяются, если найдется вектор и, точно минимизирующий функционал
Прием, позволяющий определить приближенно этот вектор, состоит в задании его проекций аппроксимирующими представлениями вида
Здесь
принимают на
заданные значения (2,2.9), тогда как функции
выбираются равными нулю на
этим удовлетворяется краевое условие для вектора и при любых значениях коэффициентов
Система аппроксимирующих («координатных») функций
должна быть взята в столь общей форме, чтобы при достаточно большом
всякая удовлетворяющая условию (2.2.9) система перемещений могла быть представлена приближенно в форме (2.3.1). Такую систему представляют, например, произведения целых степеней переменных вида
умноженные на функцию, обращающуюся на
в нуль.
После подстановки так или иначе назначенных представлений вида (2.3.1) для перемещений
в выражение потенциальной энергии системы
последняя представится суммой
квадратичной и линейной форм коэффициентов
и постоян ного слагаемого
причем квадратичная форма
равна как раз потенциальной энергии деформации а, вычисляемой по вектору
и поскольку А — знакоопределенная положительная форма компонент деформации, то и
такая же форма от
Поэтому определитель матрицы ее компонент положителен:
По теореме о минимуме потенциальной энергии системы наилучшее приближение в выбранном классе аппроксимирующих вектор и функций обеспечивается значениями коэффициентов, сообщающих минимум выражению (2.3.2). Это приводит к системе
линейных уравнений
или
с таким же числом неизвестных. Существование и единственность ее решения следует из неравенства (2.3.4).
Таким образом, строится приближенное решение задачи. Приемлемо предположение, что при достаточной общности системы аппроксимирующих функций вычисленное значение потенциальной энергии системы будет все более с ростом
приближаться к ее минимуму. Но из этой «сходимости по энергии» не следует еще, что и последовательность приближений (2.3.1) сходится к искомому решению. Здесь нет места для этих рассмотрений, которым посвящена обширная специальная литература. Вычисление дает при разумном выборе вида и числа аппроксимирующих функций значения вектора и, достаточно близкие к точному решению; меньшей точности следует ожидать от вычисления по найденным методом Ритца перемещениям их производных, значит, и напряжений.