2.3. Метод Ритца.

Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления.

В методе Ритца (1909) дифференциальное уравнение (2.2.11) и статическое краевое условие (2.2.12) не рассматриваются, так как наперед известно, что они автоматически удовлетворяются, если найдется вектор и, точно минимизирующий функционал Прием, позволяющий определить приближенно этот вектор, состоит в задании его проекций аппроксимирующими представлениями вида

Здесь принимают на заданные значения (2,2.9), тогда как функции выбираются равными нулю на этим удовлетворяется краевое условие для вектора и при любых значениях коэффициентов Система аппроксимирующих («координатных») функций должна быть взята в столь общей форме, чтобы при достаточно большом всякая удовлетворяющая условию (2.2.9) система перемещений могла быть представлена приближенно в форме (2.3.1). Такую систему представляют, например, произведения целых степеней переменных вида умноженные на функцию, обращающуюся на в нуль.

После подстановки так или иначе назначенных представлений вида (2.3.1) для перемещений в выражение потенциальной энергии системы последняя представится суммой

квадратичной и линейной форм коэффициентов и постоян ного слагаемого

причем квадратичная форма равна как раз потенциальной энергии деформации а, вычисляемой по вектору

и поскольку А — знакоопределенная положительная форма компонент деформации, то и такая же форма от Поэтому определитель матрицы ее компонент положителен:

По теореме о минимуме потенциальной энергии системы наилучшее приближение в выбранном классе аппроксимирующих вектор и функций обеспечивается значениями коэффициентов, сообщающих минимум выражению (2.3.2). Это приводит к системе линейных уравнений

или

с таким же числом неизвестных. Существование и единственность ее решения следует из неравенства (2.3.4).

Таким образом, строится приближенное решение задачи. Приемлемо предположение, что при достаточной общности системы аппроксимирующих функций вычисленное значение потенциальной энергии системы будет все более с ростом приближаться к ее минимуму. Но из этой «сходимости по энергии» не следует еще, что и последовательность приближений (2.3.1) сходится к искомому решению. Здесь нет места для этих рассмотрений, которым посвящена обширная специальная литература. Вычисление дает при разумном выборе вида и числа аппроксимирующих функций значения вектора и, достаточно близкие к точному решению; меньшей точности следует ожидать от вычисления по найденным методом Ритца перемещениям их производных, значит, и напряжений.