1.2. Символы Леви-Чивита.

Так называют величины

Они равны нулю, если в числе индексов имеются одинаковые, если индексы различны и следуют в порядке 123, или 231, или 312, и —1, когда этот порядок нарушен. Это определение верно в любой ортогональной декартовой системе, получаемой из исходной преобразованием поворота

Векторные произведения единичных векторов с помощью символа Леви-Чивита записываются в виде

поэтому

Например,

Имеем также, используя (1.2.2) и известное правило представления двойного векторного произведения,

Умножая теперь скалярно обе части этого равенства на 4, приходим к соотношению

Из него при то есть при суммировании по двум индексам имеем

Наконец, при суммировании по трем индексам находим -

Используя (1.2.5), имеем еще

Например,

Введение символов Леви-Чивита и использование перечисленных правил значительно сокращает вычисления в тензорной алгебре.