6.8. Задача Герца о сжатии упругих тел.
Два упругих тела прижаты друг к другу силами
линия действия которых перпендикулярна общей касательной плоскости
поверхностей
тел в точке О. Под действием сил
тела деформируются в области, примыкающей к месту контакта, и сближаются друг с другом. Назовем через
проекции поступательного перемещения первого и второго тел на оси
которые, напомним, направлены внутрь соответствующих тел. Можно также определить
и
как перемещения достаточно удаленных от места контакта точек первого и соответственно второго тела, а величину
называть сближением тел.
Рассмотрим две точки
первого и второго тел, расположенные в области, примыкающей к месту контакта, на общем перпендикуляре к плоскости
. В системах осей
введенных в п. 6.7, координаты этих точек до деформации соответственно будут
При деформации тел точкам
сообщаются перемещения, проекции которых на оси
обозначаются через
Одновременно точки
сместятся вместе со своими телами и займут положения
поэтому после деформации интересующие нас координаты
точек
станут равными
и расстояние
станет равным
или,
Для тех точек
первого и второго тел, которые после деформации вступят в контакт, это расстояние станет равным нулю, а для точек вблизи места контакта оно положительно. Поэтому поверхность
контакта можно определить как место точек, для которых
тогда как вне контактной площади
По поверхности контакта действует нормальное давление с интенсивностью
тогда как касательные напряжения на ней считаем отсутствующими. Далее предполагается, что при рассмотрении локальных эффектов в окрестности контакта можно заменить соприкасающиеся тела двумя упругими полупространствами, прижатыми друг другу по площадке
расположенной в разделяющей полупространства плоскости
касательной плоскости поверхностей
в точке О. На этой плоскости
Как и в п. 6.5, площадка соприкасания определяется областью внутри эллипса
оси которого х, у определены в п. 6.7. Давление
на
принимается равным нулю.
Напряженное состояние в каждом из полупространств определяется с помощью функции
, являющейся потенциалом простого слоя, распределенного по площадке
с интенсивностью
По (6.2.1) имеем
и можно ограничиться рассмотрением одного лишь потенциала
считая z положительным в каждом из полупространств. Пр и вычислении же перемещений по формулам (6.2.3), (6.2.4), конечно, следует упругим постоянным придавать соответствующие значения:
По (6.2.4) на площадке соприкасания
и, следовательно, по (6.8.5) на
где обозначено
Потенциал
определяется условием (6.8.11) и требованием обращения в нуль плотности
на контуре Ей площадки
Эта задача лишь заменой обозначения