6.8. Задача Герца о сжатии упругих тел.

Два упругих тела прижаты друг к другу силами линия действия которых перпендикулярна общей касательной плоскости поверхностей тел в точке О. Под действием сил тела деформируются в области, примыкающей к месту контакта, и сближаются друг с другом. Назовем через проекции поступательного перемещения первого и второго тел на оси которые, напомним, направлены внутрь соответствующих тел. Можно также определить и как перемещения достаточно удаленных от места контакта точек первого и соответственно второго тела, а величину

называть сближением тел.

Рассмотрим две точки первого и второго тел, расположенные в области, примыкающей к месту контакта, на общем перпендикуляре к плоскости . В системах осей введенных в п. 6.7, координаты этих точек до деформации соответственно будут При деформации тел точкам сообщаются перемещения, проекции которых на оси обозначаются через Одновременно точки сместятся вместе со своими телами и займут положения поэтому после деформации интересующие нас координаты точек станут равными

и расстояние станет равным

или,

Для тех точек первого и второго тел, которые после деформации вступят в контакт, это расстояние станет равным нулю, а для точек вблизи места контакта оно положительно. Поэтому поверхность контакта можно определить как место точек, для которых

тогда как вне контактной площади

По поверхности контакта действует нормальное давление с интенсивностью тогда как касательные напряжения на ней считаем отсутствующими. Далее предполагается, что при рассмотрении локальных эффектов в окрестности контакта можно заменить соприкасающиеся тела двумя упругими полупространствами, прижатыми друг другу по площадке расположенной в разделяющей полупространства плоскости касательной плоскости поверхностей в точке О. На этой плоскости Как и в п. 6.5, площадка соприкасания определяется областью внутри эллипса

оси которого х, у определены в п. 6.7. Давление на принимается равным нулю.

Напряженное состояние в каждом из полупространств определяется с помощью функции , являющейся потенциалом простого слоя, распределенного по площадке с интенсивностью По (6.2.1) имеем

и можно ограничиться рассмотрением одного лишь потенциала

считая z положительным в каждом из полупространств. Пр и вычислении же перемещений по формулам (6.2.3), (6.2.4), конечно, следует упругим постоянным придавать соответствующие значения:

По (6.2.4) на площадке соприкасания

и, следовательно, по (6.8.5) на

где обозначено

Потенциал определяется условием (6.8.11) и требованием обращения в нуль плотности на контуре Ей площадки Эта задача лишь заменой обозначения

отличается от задачи п. 6.5 о действии неплоского штампа на упругое полупространство. Поэтому результаты решения задачи о штампе тотчас же переносятся на задачу о контакте упругих тел, прижатых друг к другу силами Ход решения этой задачи такой:

1) По заданным кривизнам поверхностей соприкасающихся тел в точке соприкасания О и по углу а определяются с помощью формул (6.7.14) и (6.7.15) величины и направления осей х, у — угол и.

2) По (6.5.6) определяется эксцентриситет площадки соприкасания.

3) Большая полуось эллипса а и сближение тел 6 определяются с помощью формул

причем функции эксцентриситета задаются формулами (6.5.8).

4) Перемещения определяются по формулам (6.6.3) с заменой на ; конечно, при вычислении напряжений следует также в формулах п. 6.6 заменить на