§ 4. Изгиб силой

4.1. Напряжения.

В решении Сен-Венана задачи об изгибе стержня силами отличны от нуля компоненты тензора напряжений. Нормальное напряжение представляется формулой (1.4.6):

а уравнения статики в объеме и на поверхности (на контуре поперечного сечения стержня) записываются в виде [см. (1.5.1),

Распределение напряжений, определяемое этими соотношениями, статически эквивалентно изгибающим моментам

в сечении 2 и поперечным (перерезывающим) силам, в любом сечении равным последнему условию удовлетворяет любая статически возможная, то есть удовлетворяющая уравнениям статики (4.1.2), система напряжений Крутящий момент создаваемый этими напряжениями, равен

где точка на линии действия силы он обращается в нуль, если эта линия проходит через центр инерции О поперечного сечения (начало координат), но тогда изгиб, вообще говоря, сопровождается кручением кручение отсутствует когда линия проходит через центр жесткости х, у [см. формулу (2.6.1)]. Тогда случай имеет место при условии, что прямая, соединяющая центры инерции и жесткости. Например, для поперечного сечения, имеющего ось симметрии, являющуюся линией действия

силы, или поперечного сечения с двумя осями симметрии, когда линия действия проходит через центр инерции.

Определение касательных напряжений требует решения краевых задач, сформулированных в п. 2.1. Однако их среднее значение на любой кривой в плоскости сечения можно найти, основываясь только на уравнениях статики (4.1.2). Действительно, рассмотрим выделенную из площадь (рис. 37), ограниченную контуром составленным из дуги контура сечения и дуги проведенной в Тогда по (4.1.2)

Рис. 37.

С другой стороны,

так как величина под знаком интеграла на равна нулю. Итак,

В частности, отсекая площадь отрезком у, параллельным оси у (рис. 37), имеем

- координаты центра инерции площади длина отрезка и по приходим к соотношению (Трикомн. 1933)

При когда ось х — ось симметрии поперечного сечения, эта формула приводится в курсах сопротивления материалов.

Конечно, она выражает равенство нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на объем отделенный плоскостью, параллельной