3.9. Сосредоточенная сила в упругой полуплоскости.

В п. 3.1 была рассмотрена задача о действии сосредоточенной силы в упругой плоскости; ее решение в случае плоской деформации выражено через функцию напряжений, определяемую формулой (3.1.10) в предположении, что сила приложена в начале координат . В случае силы, приложенной в точке оси достаточно заменить z на

Рассмотрим действие двух сил: силы в точке и зеркально отображенной относительно оси силы в точке Функция напряжений описывающая состояние упругой плоскости в этих условиях, очевидно, может быть получена наложением функций вида (3.1.10): ее производная по z с точностью до аддитивной постоянной равна

В рассматриваемой здесь задаче разыскивается напряженное состояние в упругой полуплоскости в точке которой приложена сосредоточенная сила тогда как граница свободна от нагружения. Называя через функцию напряжений этой задачи, полагаем

Тогда краевые условия, определяющие следует записать в виде

и в развернутом виде

Введя в рассмотрение угол

можно переписать это соотношение также в виде

Величина в правой части вещественна, производная по у искомой функции напряжений на границе оказалась равной нулю; это можно было предвидеть, поскольку касательные напряжения на оси при нагружении плоскости силами в точках вследствие симметрии, отсутствуют. Функция соответствует напряженному состоянию, создаваемому нормальным к границе нагружением, и ее можно разыскивать в форме

где функция, гармоническая в верхней полуплоскости, причем определяется задачей Дирихле. Решение ее частично записывается сразу, так как

представляют значения на прямой гармонических при функций

которые в свою очередь представляют производные по х от гармонических функций

Вместе с тем

Приходим к следующему представлению гармонической в функции

и теперь по (3.9.5), отбрасывая линейные слагаемые, находим

Решение задачи представляется в виде суммы функции напряжений создаваемой действием горизонтальной силы, и вертикальной силы. Получаем

Эти бигармонические в верхней полуплоскости функции имеют требуемую особенность в точке приложения силы и принимают постоянное значение на границе что и требуется. Вычисление напряжений проводится по формулам (1.13.2).