1.11. Разбиение симметричного тензора второго ранга на девиатор и шаровой тензор.

Изотропный тензор называется шаровой частью тензора выделяя из тензора его шаровую часть, приходим к тензору, называемому девиатором тензора и обозначаемому

Характеристическое уравнение девиатора по (1.9.5) записывается в виде

откуда следует, что главные значения девиатора равны

или

Его главные направления совпадают с главными направлениями тензора. Действительно, из равенства

следует

то есть вектор определяемый уравнениями (1.9.1), удовлетворяет также уравнениям (I. 11.4).

Инварианты девиатора. Из формул (1.11.3), (1.10.4), (1.10.5) имеем

Легко проверить, обратившись к (1.11.5) и (1.11.6), что выражение второго инварианта девиатора может быть записано также в виде

Еще одно выражение второго инварианта девиатора можно получить, заменив в (1.10.10) Q на и учтя (1.11.5):

Заметим, что Ниже потребуются еще выражения первого инварианта степеней девиатора до четвертой включительно через его второй и третий инварианты. Для их вычисления обратимся к уравнению, выражающему теорему Кейли — Гамильтона (1.10.11) для девиатора. Имеем

и т. д. Отсюда, сославшись на (1.11.5), (1.11.9), легко найдем

Характеристическое уравнение девиатора, сославшись на (1.11.5), (1.10.3), можно записать в виде

Это кубическое уравнение, не содержащее квадрата неизвестного и имеющее только вещественные корни; его решение поэтому можно представить в тригонометрической форме, положив

где для краткости принято

Подстановка в (I. 11.12) дает

так что

Отсюда определяются три значения к и соответствующие им главные значения девиатора:

Величины выражающиеся через главные инварианты девиатора, также являются его инвариантами. В некоторых вопросах применение инвариантов следует предпочесть главным инвариантам тензора

Формулы (1.11.9) — (1.11.11) теперь переписываются в виде