§ 2. Вариационные принципы статики линейно-упругого тела

2.1. Стационарность потенциальной энергии системы.

Элементарная работа внешних сил может быть отождествлена с вариацией потенциальной энергии деформации равной вариации свободной энергии в изотермическом процессе и внутренней энергии в адиабатическом:

Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от друга энергетических принципа в зависимости от того, через какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Задавая ее квадратичной формой [см. (3.2.3) гл. III] компонент деформации, придем к принципу минимума потенциальной энергии системы; исходя же из квадратичной формы компонент тензора напряжений гл. III], получим принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе варьируются перемещения, во втором — компоненты напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная

потенциальная энергия задается билинейной формой и варьированию подлежат переменные той и другой группы.

В формуле (2.1.1) содержится утверждение, что работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении точек упругого тела из положения равновесия, определяемого вектором и, равна вариации потенциальной энергии деформации. При этом на той части О, поверхности О, на которой заданы перемещения, следует принять так что

Два состояния упругого тела — равновесное и бесконечно близкое к нему, когда точкам тела сообщено поле виртуальных перемещений, — рассматриваются при одних и тех же силах в объеме и на части поверхности нигде не налегающей на Иными словами, в объеме V

и на

Вынося еще знак вариации за знак интегралов, что законно, поскольку объем V и поверхность фиксированы, имеем по (2.1.1)

Величину

называют потенциальной энергией системы; она равна разности потенциальной энергии деформации и работы заданных внешних сил (на О) они не заданы), вычисляемой в предположении, что эти силы во всем процессе деформирования из натурального состояния имеют значение, которое они приобрели в рассматриваемом равновесном состоянии.

Потенциальная энергия представляет функционал над и, численное значение которого меняется вместе с заданием и; в этом множестве чисел то, которое сопоставлено значению вектора и в положении равновесия упругого тела, обладает замечательным свойством стационарности;

Это значит, что вычисление один раз для поля перемещений в положении равновесия, другой раз для поля перемещений

и приводит к одному и тому же значению при условии, что это вычисление проводилось с учетом лишь величин того же порядка малости Приращение функционала при сообщении упругому телу поля виртуальных перемещении из положения равновесия является величиной более высокого порядка малости, чем