1.3. Дифференциальное уравнение для функции напряжений.
Далее предполагается, что частное решение
не только статически возможно в объеме, но и реализуемо в упругом теле, то есть удовлетворяет зависимостям Бельтрами, причем определяется соотношением (1.1.5), a
. Тогда (здесь и во всем последующем опускаем постоянную
) сумма нормальных напряжений будет равна
и эти зависимости по (1.5.7) гл. IV запишутся в виде
причем последнее уравнение является следствием двух первых.
Остается потребовать, чтобы функция Эри удовлетворяла однородным зависимостям Бельтрами. В них теперь
Это дает условия
приводящие к единственному уравнению
Итак, функция напряжений Эри удовлетворяет этому дифференциальному уравнению четвертого порядка, называемому бигармоническим. Оно однородно при выборе частного решения, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и зависимостям Бельтрами.