§ 5. Вариационные теоремы статики нелинейно-упругого тела

5.1. Принцип виртуальных перемещений.

Формулировка этого принципа в применении к сплошной среде была дана в п. 3.5 гл. Равенство (3.5.6) гл. I, определяющее элементарную работу внешних сил в ходе которого использовались уравнения статики -объема (3.3.1) гл. I, было получено с помощью этого принципа. Здесь будет показано обратное: уравнения статики в -объеме и на его поверхности О заключены в принципе виртуальных перемещений, если предположить выражение элементарной работы (3.5.6) гл. I известным.

Действительно, по (3.5.3), (3.5.5) гл. I имеем

или, переходя к интегрированию по -объему и его поверхности о,

Здесь использовано равенство (3.5.4) гл. II, связывающее площадки на . Теперь, замечая, что

и используя преобразование объемного интеграла в поверхностный , имеем

и, возвращаясь к (5.1.2), приходим к соотношению

Требование обращения в нуль объемного интеграла, вследствие произвольности поля виртуальных перемещений в объеме тела, возвращает к уравнениям статики в объеме

В поверхностном интеграле на той части поверхности о, на которой задан и, значит, не варьируется вектор перемещения и; на той же ее части где заданы поверхностные силы вектор произвольный, и требование обращения в нуль поверхностного интеграла (по приводит к уравнениям статики на поверхности (3.3.6) гл. I: