1.10а. Главные оси и главные значения несимметричного тензора.

Как и в п. 1.9, ограничимся случаем тензора второго ранга. Здесь можно ввести в рассмотрение две системы главных направлений — «правых» и «левых»:

Скалярные множители равны друг другу, так как они определяются одним и тем же кубическим уравнением

В развернутой записи это уравнение имеет вид

причем коэффициенты -главные инварианты выражаются через компоненты по формулам, аналогичным

Вещественный корень этого уравнения обозначается ему соответствует правое главное направление Остальные корни могут быть или вещественными, или комплексными сопряженными: Остановимся на последнем предположении и назовем через соответствующие им также комплексные сопряженные векторы (правые). По определению

так что

Теперь в рассмотрение вводится взаимный (неортогональный) векторный базис

так что

Это позволяет записать диадное (правое) представление в виде

Действительно, при этом вследствие (1.10.6а) выполняются соотношения .

Если все корни вещественны, им соответствующие векторы главных направлений, то, определив взаимный базис теми же соотношениями, имеем

Когда симметричный тензор, то ортонормированный векторный базис, совпадающий со взаимным базисом приходим к представлению (1.9.12).

Диалогично вводятся левый базисный и ему взаимный триэдры главных направлений.

Примеры. 1°. Кососимметричный тензор представляется через сопутствующий вектор

Поэтому

и этому соотношению можно удовлетворить, полагая

Характеристическое уравнение тензора

кроме нулевого имеет два чисто мнимых корня Через обозначаются им соответствующие векторы так что

Векторы образуют ортогональный базис; можно принять, что единичные векторы, они определены с точностью до поворота вокруг . В таких ортонормированных базисах тензор представляется его диадным разложением

Действительно, при этом

что и требуется.

2°. Тензор поворота Учитывая известные соотношения

можно записать его характеристическое уравнение в виде

Один из корней а два других представимы в виде причем

Разыскиваются левые главные направления (правые направления тензора Корню соответствует направление единичного вектора остающееся неизменным при преобразовании поворота, — ось поворота

Векторы соответствующие корням определяются соотношениями

так что, поскольку

Точно так же

так что, исключая случай получаем

причем Квадрат модуля векторов примем равным 2:

Тогда векторы будут единичными, а вектор определен с точностью до множителя Итак, векторы образуют ортонормированный триэдр, причем определены с точностью до поворота вокруг

Тензор поворота теперь представляется в виде

Действительно, при этом выполняются требуемые соотношения

Другая запись формулы (1.10.8а), повторяющая (1.8.8), имеет вид

В этой инвариантной записи тензора поворота А вектором задается ось поворота, угол поворота вокруг нее. В последнем можно убедиться, заметив, что

то есть повернутые векторы образованы поворотом векторов в], вокруг на угол в положительную сторону.

Отметим также представления диад главных направлений симметричного тензора. Они следуют из соотношений главные значения

Получаем

Теперь легко получить выражения квадратов косинусов углов главных направлений с осями координат и их попарных произведений. Например,