Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.10а. Главные оси и главные значения несимметричного тензора.
Как и в п. 1.9, ограничимся случаем тензора второго ранга. Здесь можно ввести в рассмотрение две системы главных направлений
— «правых» и «левых»:
Скалярные множители
равны друг другу, так как они определяются одним и тем же кубическим уравнением
В развернутой записи это уравнение имеет вид
причем коэффициенты
-главные инварианты
выражаются через компоненты
по формулам, аналогичным
Вещественный корень этого уравнения обозначается
ему соответствует правое главное направление
Остальные корни
могут быть или вещественными, или комплексными сопряженными:
Остановимся на последнем предположении и назовем через
соответствующие им также комплексные сопряженные векторы
(правые). По определению
так что
Теперь в рассмотрение вводится взаимный (неортогональный) векторный базис
так что
Это позволяет записать диадное (правое) представление
в виде
Действительно, при этом вследствие (1.10.6а) выполняются соотношения
.
Если все корни
вещественны,
им соответствующие векторы главных направлений, то, определив взаимный базис теми же соотношениями, имеем
Когда
симметричный тензор, то
ортонормированный векторный базис, совпадающий со взаимным базисом
приходим к представлению (1.9.12).
Диалогично вводятся левый базисный и ему взаимный триэдры
главных направлений.
Примеры. 1°. Кососимметричный тензор
представляется через сопутствующий вектор
Поэтому
и этому соотношению можно удовлетворить, полагая
Характеристическое уравнение тензора
кроме нулевого имеет два чисто мнимых корня
Через
обозначаются им соответствующие векторы
так что
Векторы
образуют ортогональный базис; можно принять, что
единичные векторы, они определены с точностью до поворота вокруг
. В таких ортонормированных базисах тензор
представляется его диадным разложением
Действительно, при этом
что и требуется.
2°. Тензор поворота
Учитывая известные соотношения
можно записать его характеристическое уравнение в виде
Один из корней
а два других представимы в виде
причем
Разыскиваются левые главные направления (правые направления тензора
Корню
соответствует направление единичного вектора
остающееся неизменным при преобразовании поворота, — ось поворота
Векторы
соответствующие корням
определяются соотношениями
так что, поскольку
Точно так же
так что, исключая случай
получаем
причем
Квадрат модуля векторов
примем равным 2:
Тогда векторы
будут единичными, а вектор
определен с точностью до множителя
Итак, векторы
образуют ортонормированный триэдр, причем
определены с точностью до поворота вокруг
Тензор поворота теперь представляется в виде
Действительно, при этом выполняются требуемые соотношения
Другая запись формулы (1.10.8а), повторяющая (1.8.8), имеет вид