2.3. Операторное представление решений.
Этот простой способ записи решений задач математической физики для полосы проще всего пояснить на примере уравнения Лапласа
Его решение разыскивается в форме степенного ряда по у
Подставив его в (2.3.1), после перегруппировки получим
и, приравняв нулю коэффициенты при 
для 
приходим к цепи равенств
позволяющих выразить все коэффициенты ряда (2.3.2) через 
то есть через значения искомого решения 
и его первой производной по у на прямой 
(на оси полосы):
Итак,
но этот же результат можно представить в другой записи:
Смысл ее ясен — следует заменить 
рядом по степениям 
и вернуть букве 
ее значение оператора дифференцирования по х над функциями 
перед которыми она написана в (2.3.5).
Легко, однако, прийти к решению (2.3.5), не прибегая к действиям с рядами, а записав уравнение Лапласа (2.3.1) в виде обыкновенного дифференциального уравнения по независимой переменной у, в котором 
рассматривается временно как число
Решению этого уравнения при начальных условиях
записываемому в форме (2.3.5), дается в конечном счете вышеприведенное истолкование. Промежуточные вычисления выполняются не непосредственно над рядами, а по их представлениям (2.3.5). Например, среднее значение 
по «высоте полосы», значение ее нормальной производной при 
могут быть записаны в виде
Нет нужды также заботиться о сходимости ряда (2.3.4), представленного записью (2.3.5), дающей только формальный прием построения решения, последнее в окончательном виде может быть выражено не степенным рядом, а в другой форме.
