2.5. Принцип минимума дополнительной работы.
Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравнению подвергаются два статически возможных напряженных состояния истинное, задаваемое тензором напряжения
, и бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения
Оба состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же задании внешних сил — объемных
и поверхностных, распределенных на части
ограничивающей тело поверхности О. Итак, в объеме V
и на
так что
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации А как функцию компонент тензора напряжений, то есть в форме (3.2.8) гл. III, и учитывая (3.2.9) гл. III, а также (2.5.3), имеем [см. (II. 3.10)]
Поэтому
где
вариация поверхностной силы на той части О] поверхности, на которой задан вектор перемещения; на ней
и равенство (2.5.5) переписывается в виде
Выражение
называется дополнительной работой, а соотношение (2.5.6) выражает свойство стационарности в положении равновесия этого функционала над тензором напряжения Т:
Стационарное значение дополнительной работы является ее минимумом. Действительно, по (2.2.2), (2.2.3)
и по (2.5.8)
что и доказывает наличие минимума в состоянии равновесия.
Итак, состояние равновесия линейно-упругого тела отличается от всех статически возможных при заданных внешних силах состояний тем, что для него функционал
над тензором напряжений
называемый «дополнительной работой», имеет минимум.
По (2.5.7) и формуле Клапейрона (3.3.3) гл. III этот минимум равен
Чгаш
В п. 2.2 было установлено, что уравнениями Эйлера и натуральными краевыми условиями вариационной задачи о минимуме потенциальной энергии системы служат уравнения равновесия в перемещениях и статические краевые условия. Естественно ожидать, что принципу минимума дополнительной работы — функционала над статически возможным тензором напряжений
должны соответствовать зависимости Бельтрами, а также кинематические краевые условия, как натуральные краевые условия вариационной задачи.
Для доказательства представим условие стационарности (2.5.8) в виде
Здесь
линейные формы компонент тензора напряжений
определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III;
тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора
под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор
это позволяет, представив теперь (2.5.10) в виде
считать все шесть вариаций бсгж,
связанных тремя условиями (2.5.3), независимыми за счет надлежащего выбора трех компонент вектора к.
Применив многократно использованное преобразование (II. 3.10);
перепишем теперь (2.5.11) в виде
так что, сославшись на (2.5.3), получаем
Теперь, выразив условия обращения в нуль множителей в подынтегральных выражениях перед вариациями
придем к соотношениям
Первое показывает, что тензор, обозначенный
есть деформация лагранжева вектора
на
последний должен быть равен заданному здесь вектору перемещения, и ничто не препятствует, отождествив X с вектором перемещения и в объеме V, вернуться к определению тензора
как к величине, задаваемой полем перемещений. В самом принципе минимума дополнительной работы понятие о тензоре деформации отсутствует, поэтому отождествление векторов X и и должно быть привнесено нами, «так как принцип об этом не знает».
По (2.1.9) гл. II тензор, являющийся деформацией, должен удовлетворять условию
и исключение К из первого соотношения (2.5.13) приводит к соотношению
что вместе с условием (1.1.1), выражающим, что
статически возможный тензор, приводит к зависимостям Бельтрами (см. п. 1.5). Это и требовалось доказать. Вектор
поскольку условие (2.5.14) выполнено, может быть вычислен по формулам Чезаро (2.2.2) гл. II.