2.5. Принцип минимума дополнительной работы.

Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравнению подвергаются два статически возможных напряженных состояния истинное, задаваемое тензором напряжения , и бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения Оба состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же задании внешних сил — объемных и поверхностных, распределенных на части ограничивающей тело поверхности О. Итак, в объеме V

и на

так что

Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации А как функцию компонент тензора напряжений, то есть в форме (3.2.8) гл. III, и учитывая (3.2.9) гл. III, а также (2.5.3), имеем [см. (II. 3.10)]

Поэтому

где вариация поверхностной силы на той части О] поверхности, на которой задан вектор перемещения; на ней

и равенство (2.5.5) переписывается в виде

Выражение

называется дополнительной работой, а соотношение (2.5.6) выражает свойство стационарности в положении равновесия этого функционала над тензором напряжения Т:

Стационарное значение дополнительной работы является ее минимумом. Действительно, по (2.2.2), (2.2.3)

и по (2.5.8)

что и доказывает наличие минимума в состоянии равновесия.

Итак, состояние равновесия линейно-упругого тела отличается от всех статически возможных при заданных внешних силах состояний тем, что для него функционал над тензором напряжений называемый «дополнительной работой», имеет минимум.

По (2.5.7) и формуле Клапейрона (3.3.3) гл. III этот минимум равен

Чгаш

В п. 2.2 было установлено, что уравнениями Эйлера и натуральными краевыми условиями вариационной задачи о минимуме потенциальной энергии системы служат уравнения равновесия в перемещениях и статические краевые условия. Естественно ожидать, что принципу минимума дополнительной работы — функционала над статически возможным тензором напряжений должны соответствовать зависимости Бельтрами, а также кинематические краевые условия, как натуральные краевые условия вариационной задачи.

Для доказательства представим условие стационарности (2.5.8) в виде

Здесь линейные формы компонент тензора напряжений определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III; тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор это позволяет, представив теперь (2.5.10) в виде

считать все шесть вариаций бсгж, связанных тремя условиями (2.5.3), независимыми за счет надлежащего выбора трех компонент вектора к.

Применив многократно использованное преобразование (II. 3.10);

перепишем теперь (2.5.11) в виде

так что, сославшись на (2.5.3), получаем

Теперь, выразив условия обращения в нуль множителей в подынтегральных выражениях перед вариациями придем к соотношениям

Первое показывает, что тензор, обозначенный есть деформация лагранжева вектора на последний должен быть равен заданному здесь вектору перемещения, и ничто не препятствует, отождествив X с вектором перемещения и в объеме V, вернуться к определению тензора как к величине, задаваемой полем перемещений. В самом принципе минимума дополнительной работы понятие о тензоре деформации отсутствует, поэтому отождествление векторов X и и должно быть привнесено нами, «так как принцип об этом не знает».

По (2.1.9) гл. II тензор, являющийся деформацией, должен удовлетворять условию

и исключение К из первого соотношения (2.5.13) приводит к соотношению

что вместе с условием (1.1.1), выражающим, что статически возможный тензор, приводит к зависимостям Бельтрами (см. п. 1.5). Это и требовалось доказать. Вектор поскольку условие (2.5.14) выполнено, может быть вычислен по формулам Чезаро (2.2.2) гл. II.