§ 3. Упругая плоскость и полуплоскость
3.1. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент в упругой плоскости.
Сосредоточенная сила, проекции которой на оси координат обозначаются 
предполагается приложенной в начале координат. Разыскивается создаваемое ею напряженное
состояние в неограниченной плоскости, так что здесь речь идет о построении в плоской задаче аналога тензора Кельвина — Сомильяна (п. 3.5 гл. IV). Быстрее всего ведет к цели использование комплексного переменного — формул (1.14.7), (1.14.5).
Очевидно, что главный вектор напряжений на любом замкнутом контуре С, содержащем точку 
должен уравновешивать приложенную силу. Это соображение приводит к первому условию задачи
где символом 
здесь и далее обозначается изменение функции 
при обходе замкнутого контура, оставляющем обходимую область слева. Очевидно, что 
когда функция 
однозначна; в рассматриваемой задаче требование однозначности налагается на вектор перемещения
Этих условий, как увидим ниже, достаточно. При их выполнении гарантируется однозначность напряжений и обращение в нуль главного момента 
распределенных по С напряжений.
По (1.14.7) имеем
Нетрудно сообразить, что эта величина будет иметь постоянное и не зависящее от выбора контура С, содержащего внутри себя начало координат, значение для функций 
вида
где 
— постоянные.
Действительно, тогда
и по (3.1.1), (3.1.2), (1.14.5) приходим к системе уравнений
Из нее находим
так что
Напряжения, выражаемые по формулам (1.14.9) через функции 
конечно, однозначны; они определяются формулами
С точностью до не имеющего значения линейного по 
слагаемого имеем также
и легко проверяется однозначность также и выражения (1.13.6):
Вектор перемещения определяется равенством
Аналогично рассматривается действие сосредоточенного момента. Сохраняется условие (3.1.2), а уравнение статики (3.1.1) заменяется уравнением
Здесь 
сосредоточенный в начале координат 
упругой плоскости момент, а 
определяемый по (1.14.7) главный момент напряжений по любому замкнутому контуру С, содержащему точку 
Условию (3.1.13) можно удовлетворить, приняв
При этом выполняется и условие (3.1.2), поскольку 
оказывается однозначной функцией координат. Получаем
так что 
остается неопределенным, а 
Получаем
