1.3. Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях.
Основываясь на перечисленных в п. 1.1 исходных соотношениях, легко получить дифференциальные уравнения для вектора и. Достаточно для этого в уравнение статики подставить выражение тензора напряжений через этот вектор. Приходим к равенству
которое после подстановок (см, также II. 4)
приводит к искомому дифференциальному уравнению
Проектируя его на оси декартовой системы, приходим к трем уравнениям, называемым дифференциальными уравнениями теории упругости в перемещениях:
где
Они были впервые даны Навье (1827), правда, в «одноконстантной» теории (коэффициент Пуассона 
и одновременно с ним Коши (1827—28).
Следствием уравнений (1.3.3) является дифференциальное уравнение для объемного расширения
Вспомнив преобразование (II. 4.5), можно придать уравнению (1,3.2) другую, иногда применяемую форму:
Еще одна запись основана на легко проверяемом соотношении
где 
вектор-радиус; заменив теперь 
в (1.3.2) его значением из (1.3.7), получаем уравнение в перемещениях в форме, предложенной Тедоне:
При отсутствии объемных сил объемное расширение 
по (1.3.5) является гармонической функцией, а и — бигармоническим вектором:
Последнее сразу же следует из (1.3.3), но надо заметить, что три бнгармонические функции 
не независимы; действительно, по (1.3.8) вектор и представим (при 
через четыре гармонические функции — гармонический вектор а и гармонический скаляр Ф:
связанные условием (1.3.4).
Краевое условие (1.2.2) на части границы, на которой заданы поверхностные силы, записывается через вектор перемещения в виде
Здесь использованы равенства (1.2,13) и (1.2.12) гл. II. В проекциях на оси декартовой системы эти краевые условия имеют вид
и т. д. Здесь
— производная и по нормали к поверхности.
