§ 4. Теоремы единственности и существования решений
4.1. Теорема Кирхгоффа.
Исходная система уравнений и краевых условий теории упругости приведена в
Вводятся следующие предположения: 1) начальное состояние тела является натуральным; 2) постоянные
в обобщенном законе Гука удовлетворяют неравенствам (3.3.5), (3.3.6) гл. III, обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии деформации: поэтому последняя может быть нулем лишь в натуральном состоянии; 3) допускается общепринятое в линейной теории упругости пренебрежение изменением формы тела при формулировании краевых условий — ограничивающая упругое тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в натуральном состоянии.
При перечисленных условиях решение краевых задач — единственное (теорема Кирхгоффа). Действительно, предполагая наличие двух отличающихся друг от друга решений и,
при одном и том же задании объемных сил в V, а также поверхностных сил на
и вектора перемещения на
получили бы, что разности
являются решением однородной краевой задача
Из этих уравнений следует [см. (II. 3.10)]
Но поверхностный интеграл по (4.1.3) равен нулю; поэтому
и вследствие положительной знакоопределенности удельной потенциальной энергии деформации
По (4.1.1) получаем
что противоречит предположению о существовании двух отличающихся друг от друга решений.
В условиях смешанной краевой задачи (1.2.3), а также первой краевой задачи (1.2.1), из (4.1.5) следует, что
тогда как во второй краевой задаче вектор перемещения оказывается определенным с точностью до перемещения среды как твердого тела:
Замечания. 1. В теореме Клрхгоффа устанавливается свойство уравнений линейной теории упругости. Из нее следует недостаточность этой теории для предсказания явлений сосуществования различных состояний равновесия при одних и тех же условиях нагружения, например, изгиба сжатого продольной силой стержня. В доказательстве было существенным пренебрежение изменений формы тела; если его не делать, то для каждого из предположенных состояний равновесия следовало бы записать кинематические краевые условия в виде
причем
так как задание перемещения и определяет одну и ту же форму этой части поверхности в деформированном состоянии тела. Однако часть границы, на которой задается распределение поверхностных сил, не сохраняет вида
так что на ней
и статические краевые условия следует записать в виде
и поэтому краевые условия (4.1.3) для разности решений не имеют места.
2. Доказательство теоремы выражает, что при отсутствии внешних сил в упругом теле не возникает напряженного состояния. Этому не противоречит возможность существования напряжений - в ненагруженном односвязном упругом объеме, из