§ 4. Теоремы единственности и существования решений

4.1. Теорема Кирхгоффа.

Исходная система уравнений и краевых условий теории упругости приведена в Вводятся следующие предположения: 1) начальное состояние тела является натуральным; 2) постоянные в обобщенном законе Гука удовлетворяют неравенствам (3.3.5), (3.3.6) гл. III, обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии деформации: поэтому последняя может быть нулем лишь в натуральном состоянии; 3) допускается общепринятое в линейной теории упругости пренебрежение изменением формы тела при формулировании краевых условий — ограничивающая упругое тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в натуральном состоянии.

При перечисленных условиях решение краевых задач — единственное (теорема Кирхгоффа). Действительно, предполагая наличие двух отличающихся друг от друга решений и, при одном и том же задании объемных сил в V, а также поверхностных сил на и вектора перемещения на получили бы, что разности

являются решением однородной краевой задача

Из этих уравнений следует [см. (II. 3.10)]

Но поверхностный интеграл по (4.1.3) равен нулю; поэтому

и вследствие положительной знакоопределенности удельной потенциальной энергии деформации

По (4.1.1) получаем

что противоречит предположению о существовании двух отличающихся друг от друга решений.

В условиях смешанной краевой задачи (1.2.3), а также первой краевой задачи (1.2.1), из (4.1.5) следует, что тогда как во второй краевой задаче вектор перемещения оказывается определенным с точностью до перемещения среды как твердого тела:

Замечания. 1. В теореме Клрхгоффа устанавливается свойство уравнений линейной теории упругости. Из нее следует недостаточность этой теории для предсказания явлений сосуществования различных состояний равновесия при одних и тех же условиях нагружения, например, изгиба сжатого продольной силой стержня. В доказательстве было существенным пренебрежение изменений формы тела; если его не делать, то для каждого из предположенных состояний равновесия следовало бы записать кинематические краевые условия в виде

причем так как задание перемещения и определяет одну и ту же форму этой части поверхности в деформированном состоянии тела. Однако часть границы, на которой задается распределение поверхностных сил, не сохраняет вида так что на ней и статические краевые условия следует записать в виде

и поэтому краевые условия (4.1.3) для разности решений не имеют места.

2. Доказательство теоремы выражает, что при отсутствии внешних сил в упругом теле не возникает напряженного состояния. Этому не противоречит возможность существования напряжений - в ненагруженном односвязном упругом объеме, из

которого удалено клинообразное тело с последующим сшиванием поверхностей разрезов. В таком теле нельзя создать непрерывное вместе с его производными поле перемещений, которое могло бы из этого начального состояния вернуть тело в натуральное состояние. В этих условиях приведенное доказательство теоремы Кирхгоффа отпадает, хотя бы вследствие невозможности преобразования объемного интеграла в поверхностный, предполагающего непрерывность к и их первых производных.

3. В неодносвязном объеме обеспечивается непрерывность тензоров деформации и напряжений и при наличии неоднозначности перемещений, создаваемой с помощью дисторсии Вольтерра, как описано в п. 2.4 гл. II. В приведенной формулировке теорема Кирхгоффа также здесь не имеет места. Она дополняется требованием, чтобы решениям соответствовали одинаковые циклические постоянные векторы с (одна и та же дисторсия). Тогда вектор непрерывная и однозначная функцня и приведенное доказательство сохраняется. Более подробно об этом см. § 5 этой главы.

4. В теореме Кирхгоффа утверждается единственность решения, если оно существует. Доказательство существования решения первой и второй краевых задач рассматривается в пп. 4.2- 4.8 этой главы.

5. Теорема Кирхгоффа не исключает существования разрывных решений однородных краевых задач, когда при отсутствии массовых сил равны нулю перемещения (или поверхностные силы во второй краевой задаче) на поверхности тела. Непрерывное и даже аналитическое в объеме тела решение однородных краевых задач можно построить для значений постоянной Пуассона вне допустимого интервала ее значений (при или ).

Примером могут служить однородные краевые задачи для полого шара, ограниченного концентрическими сферами Решение может быть построено с помощью бигармонической функции Лява (п. 1.10) вида

где решение уравнения Лежандра

Индекс определяется условием существования нетривиального решения однородной краевой задачи — должен быть равен нулю определитель А системы линейных однородных уравнений для неизвестных коэффициентов получаемой в записи

краевых условий. Он зависит корни трансцендентного уравнения

в допустимом интервале значений оказываются комплексными. Решения, соответствующие каждому из этих корней, определяются вещественной (или мнимой) частью функции По свойству функций Лежандра они разрывны при или решение задачи содержит линию особенностей на отрезке (или ).

Задавая целочисленные значения получаем непрерывные во всем объеме решения; определяемые по таким из уравнения (4.1.9) значения параметра при всех расположены вне допустимого интервала.