2.8. Тензор напряжений Пиола (1836) — Кирхгоффа (1850).

По определению тензора напряжений его произведение на вектор ориентированной площадки в -объеме равно действующей на эту площадку силе

Перейдя в этом выражении к площадке в -объеме с помощью соотношения (3.5.3) гл. II, получим

Здесь в рассмотрение введен несимметричный тейзор

называемый тензором напряжений Пиола — Кирхгоффа. Уравнение статики в объеме, выражающее условие обращения в нуль главного вектора сил, действующих на произвольно выделенный из тела объем,

здесь приводится к виду

Дивергенция вычисляется в векторном базисе начального объема у; это облегчает решение ряда задач. Знание наперед неизвестной геометрии -объема предполагается в записи уравнения статики на поверхности [см. (3.5.4) гл. II]

Уравнение состояния для тензора Пиола по (2.7.5), (2.8.3) и (3.2.6) гл. II записывается в виде

Оно нашло применение в ряде работ (Джон, 1956) для материала «гармонического типа». Предполагается, что удельная потенциальная энергия деформации не зависит от инварианта а ее зависимость от записывается в виде

где постоянные. При отождествлении с постоянными Ляме, а главных относительных удлинений с диагональными компонентами линейного тензора деформации приходим к известному выражению удельной потенциальной энергии в линейной теории упругости. Для материала «гармонического типа»