8.5. Односвязная конечная область.

Конформное преобразование единичного круга на рассматриваемую область, ограниченную гладким замкнутым контуром дается голоморфной в круге функций

причем можно считать вещественным числом, а при Далее будем считать, что полином степени. Тогда, как и в случае бесконечной области с отверстием, решение задачи может быть получено в конечном виде.

Краевые условия по (5.2.15) записываются (при несколько измененных обозначениях) в виде

Здесь по (5.2.9)

где вектор поверхностных сил, проекции на внешнюю нормаль и касательную к Главный вектор

поверхностных сил, вычисляемый с помощью формул (5.2.6), (5.2.7), представляется в виде

Их главный момент относительно точки в которую отображен центр круга, равен

и условия статической эквивалентности нулю системы поверхностных сил записываются в виде [ср. (6.2.4)]

Не составит труда убедиться, что этим условиям удовлетворяют и левые части краевых условий (8.5.1), если функции голоморфны в единичном круге. Действительно,

— первый и третий интегралы равны нулю, поскольку подынтегральные функции являются краевыми значениями функций, голоморфных при и соответственно второй — поскольку однозначна. Образуя аналогичным образом уравнение моментов, имеем

что и требуется.

Применение способа интегралов Коши к первому краевому условию (8.5.1) приводит к соотношению

Вместе с тем

Через обозначим голоморфную часть функции

причем

— голоморфная в круге функция.

Теперь равенство (8.5.5) записывается в виде

Сославшись на (8.5.7), имеем

Поэтому

и второе краевое условие приводит к зависимости

причем по (8.5.8)

По (8.5.9) и учитывая, что имеем

Вместе с тем по (8.5.4)

Эти соотношения позволяют представить (8.5.11) в виде

или

По (8.5.10) первая группа слагаемых равна — Это подтверждает предположенную наперед голоморфность в круге