7.8. Однородные решения.
Ограничиваясь случаем аксиально-симметричной деформации сплошного цилиндра, рассмотрим при отсутствии загружения боковой поверхности
однородную систему линейных уравнений [см. (7.7.4)]
определяющую коэффициенты
решений
Эта система может иметь ненулевые решения для значений
обращающих в нуль ее определитель (7.6.11):
Представление
в форме степенного ряда можно получить, используя формулу для произведения бесселевых функций
Приходим к равенству
из которого следует, что для
величина в скобках положительна при всяком целом
поэтому
не имеет корней при вещественных
исключая очевидный двойной нулевой
Таблица 6 (см. скан)
корень. Она не имеет и чисто мнимых корней, в чем можно убедиться, положив
и группируя слагаемые ряда попарно; тогда окажется, что
Таким образом, все корни функции
комплексные; но эта функция четна, а коэффициенты ее разложения (7.8.4) в ряд вещественны. Поэтому ее корни распадаются на четыре группы:
Значения первых трех корней, расположенных в первом квадранте плоскости
приведены в таблице 6; в ней же приведены числовые значения некоторых функций от этих корней. Вычисление проведено для значения
Поскольку уже
достаточную точность при
дают асимптотические формулы корней (с точностью до членов порядка
и функции от них
Заметим еще, что при принятом обозначении
уравнение (7.8.3) записывается в виде
Возвращаясь к уравнениям (7.8.1), находим зависимость между постоянными
соответствующими корню
Постоянные
остаются неопределенными. Далее вводится обозначение
позволяющее записать выражения перемещении для каждого корня в виде
где
В этой же форме записываются напряжения:
причем
и легко непосредственно проверить, сославшись на (7.8.9), (7.8.10), что комплексные функции
обращаются в нуль на поверхности цилиндра
Конечно, равны нулю и их вещественные и мнимые части (обозначаемые индексами
сверху).
Таким образом, построена система «однородных решений» уравнений равновесия упругого цилиндра — решений, оставляющих его поверхность
свободной от нагружения. Система напряжений, вычисляемых по этим решениям, в любом поперечном сечении цилиндра статически эквивалентна нулю. Это сразу же следует из соображений статики и легко подтверждается вычислением
что следует из (7.8.9) и из соотношений
Отделив в (7.8.11) вещественную часть, получим
Выражения, отличающиеся только перестановкой и знаком постоянных, получили бы, взяв мнимую часть
Таким образом, для каждого корня
в первом квадранте плоскости
имеем два частных однородных решения, соответствующих независимым постоянным
Наличие в выражениях (7.8.15) множителя
указывает, что эти решения экспоненциально затухают от края цилиндра
Быстрота затухания возрастает с номером решения:
и уже
Решения, затухающие от края
получим, заменив в (7.8.11) (7.8.13) множитель на
(и изменив знаки
Использование корней, расположенных в других квадрантах плоскости (3, не приведет к решениям, отличным от указанных; для каждого
получаем, таким образом, четыре независимых частных решения, из них два затухают при удалении от торца
и два — от торца