7.8. Однородные решения.

Ограничиваясь случаем аксиально-симметричной деформации сплошного цилиндра, рассмотрим при отсутствии загружения боковой поверхности однородную систему линейных уравнений [см. (7.7.4)]

определяющую коэффициенты решений

Эта система может иметь ненулевые решения для значений обращающих в нуль ее определитель (7.6.11):

Представление в форме степенного ряда можно получить, используя формулу для произведения бесселевых функций

Приходим к равенству

из которого следует, что для величина в скобках положительна при всяком целом поэтому не имеет корней при вещественных исключая очевидный двойной нулевой

Таблица 6 (см. скан)

корень. Она не имеет и чисто мнимых корней, в чем можно убедиться, положив и группируя слагаемые ряда попарно; тогда окажется, что

Таким образом, все корни функции комплексные; но эта функция четна, а коэффициенты ее разложения (7.8.4) в ряд вещественны. Поэтому ее корни распадаются на четыре группы:

Значения первых трех корней, расположенных в первом квадранте плоскости приведены в таблице 6; в ней же приведены числовые значения некоторых функций от этих корней. Вычисление проведено для значения

Поскольку уже достаточную точность при дают асимптотические формулы корней (с точностью до членов порядка

и функции от них

Заметим еще, что при принятом обозначении

уравнение (7.8.3) записывается в виде

Возвращаясь к уравнениям (7.8.1), находим зависимость между постоянными соответствующими корню

Постоянные остаются неопределенными. Далее вводится обозначение

позволяющее записать выражения перемещении для каждого корня в виде

где

В этой же форме записываются напряжения:

причем

и легко непосредственно проверить, сославшись на (7.8.9), (7.8.10), что комплексные функции обращаются в нуль на поверхности цилиндра Конечно, равны нулю и их вещественные и мнимые части (обозначаемые индексами сверху).

Таким образом, построена система «однородных решений» уравнений равновесия упругого цилиндра — решений, оставляющих его поверхность свободной от нагружения. Система напряжений, вычисляемых по этим решениям, в любом поперечном сечении цилиндра статически эквивалентна нулю. Это сразу же следует из соображений статики и легко подтверждается вычислением

что следует из (7.8.9) и из соотношений

Отделив в (7.8.11) вещественную часть, получим

Выражения, отличающиеся только перестановкой и знаком постоянных, получили бы, взяв мнимую часть Таким образом, для каждого корня в первом квадранте плоскости имеем два частных однородных решения, соответствующих независимым постоянным Наличие в выражениях (7.8.15) множителя указывает, что эти решения экспоненциально затухают от края цилиндра Быстрота затухания возрастает с номером решения: и уже Решения, затухающие от края получим, заменив в (7.8.11) (7.8.13) множитель на (и изменив знаки

Использование корней, расположенных в других квадрантах плоскости (3, не приведет к решениям, отличным от указанных; для каждого получаем, таким образом, четыре независимых частных решения, из них два затухают при удалении от торца и два — от торца