§ 4. Аппроксимации законов состояния

4.1. Квадратичный закон состояния Синьорини.

Общие законы состояния нелинейно-упругой среды конкретизируются или заданием явного выражения удельной потенциальной энергии деформации через инварианты мер либо тензоров деформации, или совместимых с ее существованием явных выражений этих законов. Рассмотрение простейших напряженных состояний, использующее эти выражения с априорно вводимыми коэффициентами, приводит к соотношениям, допускающим сравнение с данными измерений и позволяющим дать числовые оценки этих коэффициентов.

Синьорини рассмотрел закон состояния с квадратичной зависимостью компонент тензора напряжения от компонент соосного с ним тензора деформации Альманзи Вместо последнего вводится мера деформации а общее выражение такой зависимости записывается в виде

причем постоянные, Сравнивая его с (2.4.2) и используя формулы (2.4.4), приходим к соотношениям

и далее подлежат рассмотрению два из трех условий интегрируемости (третье удовлетворяется тождественно):

Приходим к равенствам

так что закон состояния оказывается зависящим от четырех постоянных:

Удельная потенциальная энергия деформации теперь дается равенством

что легко проверить по (4.1.2).

Постоянную можно выразить через значение всестороннего растяжения в начальном состоянии (тогда

В этом состоянии

и, возвращаясь к (4.1.3), 4.1,4), имеем

Если начальным состоянием служит натуральное, то и закон состояния определяется тремя лишь коэффициентами. С. целью сопоставить его с обобщенным законом линейной теории заменим меру деформации тензором а инварианты инвариантами Это вычисление проводится по формулам (4.3.3), (5.4.6) гл. II. Тогда при обозначениях

можно записать (4.1.6), (4.1.7) в виде

причем аддитивная постоянная выбрана так, что в натуральном состоянии

Замечания. 1. Квадратичный закон состояния идеальноупругого тела, содержащий пять постоянных, предложенный Н. В. Зволинским и П. М. Ризом (1939), записывается в виде

и может быть согласован с энергетически допустимым законом состояния Синьорини (4.1.9), если принять

где — постоянные, входящие в (4.1.9). Отсюда следует, что предложение считать нулями приводит к противоречию с предпосылкой о существовании удельной потенциальной энергии деформации.

2. Сетх рассмотрел большое число нелинейных задач, основываясь на законе состояния

представляющем, казалось бы, естественное обобщение закона Гука линейной теории упругости, в который он вырождается

при Этот закон энергетически неприемлем, что видно из сравнения с (4.1.9). Но он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной теории, например конечность растягивающей силы, вызывающей разрыв образца, необходимость приложения нормальных усилий для осуществления простого сдвига (см. далее пп. 4.4, 4.5). При малых относительных удлинениях и сдвигах количественные результаты применения квазилинейного закона (4.1.3) не могут заметно отличаться от получаемых по закону состояния Синьорини; вместе с тем квазилинейный закон не накладывает ограничений на перемещения и повороты и поэтому приложим к задачам, недоступным для рассмотрения с помощью закона Гука.