§ 2. Упругий слой
2.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты.
Эта деформация плиты из несжимаемого материала была описана в п. 6.5 гл. II. Компоненты мер деформации 
и главные инварианты 
по (6.5.5), (6.5.6) гл. II задаются формулами
причем материальными координатами служат декартовы координаты 
-объема (начального состояния).
Компоненты в осях декартовой ортогональной системы энергетического тензора напряжений в соответствии с (2.1.5), (2.1.16) гл. VIII даются равенствами
Удельную потенциальную энергию деформации 
можно рассматривать здесь как функцию от 
причем
Поэтому
и теперь исключение из первых двух уравнений (2.1.2) слагаемого, содержащего неизвестную с, приводит к равенству
Здесь использована также формула (2.1.3). Еще одно соотношение связи между 
дается уравнениями статики. Имея в виду, что здесь по (6.5.1) гл. II
записываем векторное уравнение статики в виде
или
Существенно только первое уравнение
так как два других удовлетворяются тождественно, поскольку напряжения по (2.1.2) зависят лишь от переменной 
Из (2.1.4) и (2.1.5) после исключения 
приходим к дифференциальному уравнению
Вспоминая теперь, что по (6.5.6) гл. II
и переходя к независимой переменной С, приходим к дифференциальному уравнению
Его легко находимое общее решение имеет вид
где 
постоянная интегрирования. Теперь по (2.1.5), (2.1.2) легко определяются остающиеся контравариантные компоненты тензора напряжений 
в векторном базисе 
Сославшись на приведенные выше выражения базисных векторов, а также на соотношения (2.1.7), получаем
Здесь 
единичные векторы нормалей к цилиндрическим поверхностям 
и к меридиональным сечениям 
Через 
назовем значения инвариантов на цилиндрических поверхностях радиусов: 
ограничивающих тело в деформированном состоянии. По (6.5.3) гл. II
и по (2.1.1) имеем
так что при 
Эти соотношения позволяют подчинить выбор одной лишь постоянной 
условиям отсутствия нагружения на обеих поверхностях 
Приходим к следующим выражениям физических компонент тензора напряжений (в цилиндрической системе координат 
где обозначение 
заменено на 
причем напомним, что по (6.8.5) гл. II
Главный вектор сил в любом меридиональном сечении 
цилиндра, отнесенный к единице длины, в осевом направлении оказывается, в согласии с (2.1.13), равным нулю:
что можно было предвидеть из соображений симметрии. Их главный момент относительно оси цилиндра определяется равенством
Дальнейшее вычисление требует задания зависимости удельной потенциальной энергии деформации от инвариантов в явном виде.
