§ 2. Упругий слой

2.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты.

Эта деформация плиты из несжимаемого материала была описана в п. 6.5 гл. II. Компоненты мер деформации и главные инварианты по (6.5.5), (6.5.6) гл. II задаются формулами

причем материальными координатами служат декартовы координаты -объема (начального состояния).

Компоненты в осях декартовой ортогональной системы энергетического тензора напряжений в соответствии с (2.1.5), (2.1.16) гл. VIII даются равенствами

Удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать здесь как функцию от

причем

Поэтому

и теперь исключение из первых двух уравнений (2.1.2) слагаемого, содержащего неизвестную с, приводит к равенству

Здесь использована также формула (2.1.3). Еще одно соотношение связи между дается уравнениями статики. Имея в виду, что здесь по (6.5.1) гл. II

записываем векторное уравнение статики в виде

или

Существенно только первое уравнение

так как два других удовлетворяются тождественно, поскольку напряжения по (2.1.2) зависят лишь от переменной

Из (2.1.4) и (2.1.5) после исключения приходим к дифференциальному уравнению

Вспоминая теперь, что по (6.5.6) гл. II

и переходя к независимой переменной С, приходим к дифференциальному уравнению

Его легко находимое общее решение имеет вид

где постоянная интегрирования. Теперь по (2.1.5), (2.1.2) легко определяются остающиеся контравариантные компоненты тензора напряжений в векторном базисе

Сославшись на приведенные выше выражения базисных векторов, а также на соотношения (2.1.7), получаем

Здесь единичные векторы нормалей к цилиндрическим поверхностям и к меридиональным сечениям

Через назовем значения инвариантов на цилиндрических поверхностях радиусов: ограничивающих тело в деформированном состоянии. По (6.5.3) гл. II

и по (2.1.1) имеем

так что при

Эти соотношения позволяют подчинить выбор одной лишь постоянной условиям отсутствия нагружения на обеих поверхностях

Приходим к следующим выражениям физических компонент тензора напряжений (в цилиндрической системе координат

где обозначение заменено на причем напомним, что по (6.8.5) гл. II

Главный вектор сил в любом меридиональном сечении цилиндра, отнесенный к единице длины, в осевом направлении оказывается, в согласии с (2.1.13), равным нулю:

что можно было предвидеть из соображений симметрии. Их главный момент относительно оси цилиндра определяется равенством

Дальнейшее вычисление требует задания зависимости удельной потенциальной энергии деформации от инвариантов в явном виде.