1.12. Функции тензоров.

1°. Скаляр. Функция удовлетворяющая условию

называется инвариантным скаляром. Соотношение (1.12.1) выражает, что не только численное значение, но и форма зависимости от компонент тензора одинаковы во всех системах осей, связанных преобразованием поворота. Инвариантным скаляром является функция от инвариантов тензора, в частности его главных инвариантов:

Термин «инвариантный скаляр» далее применяется в этом (ограниченном) смысле.

2°. Тензорная функция над тензором Предполагаются заданными функций причем компоненты тензора, и известно, что элементы матрицы также подчинены закону преобразования (1.3.6) компонент тензора. Этим определяется тензорная функция над тензором

Тензорной функцией является тензорный степенной ряд

в котором инвариантные скаляры. Теорема Кейли — Гамильтона позволяет степени выше второй заменить через Поэтому тензорная функция, о которой известно, что она представима степенным рядом, может быть определена квадратичным трехчленом

где инвариантные скаляры.

Примерами тензорной функции, не представимой степенным рядом, может служить

Тензор представляет изотропную функцию над тензором при выполнении равенства

Это значит, что в системах осей связанных преобразованием поворота сохраняется форма зависимости над причем численные значения тензоров (первого в осях второго в равны друг другу. Не следует смешивать термины

«изотропная тензорная функция» и «изотропный тензор» — компоненты последнего одинаковы во всех системах осей

Может быть доказана теорема: симметричная тензорная функция над симметричным тензором изотропна тогда и только тогда, когда она представима в форме , причем представляют скалярные инварианты вида (1.12.2).

Симметричные тензоры в соотношении (I. 12.4) соосны.

3°. Градиент скаляра по тензору. Пусть функция компонент тензора заданных в осях Элементы матрицы преобразуются при задании компонент в новых осях по правилу (1.3.7); действительно,

что и требуется. Поэтому величина, обозначаемая

представляет тензор второго ранга — градиент функции по Из этого определения следует соотношение

Пусть - инвариантный скаляр; тогда в соответствии с определением и по (1.12.3)

так что в этом предположении - изотропная функция тензора

4°. Производные главных инвариантов тензора по тензору. Сославшись на (1.7.9), (1.12.6), имеем

Вместе с тем

и по (1.12.8)

Поэтому

Заменив теперь левую часть ее выражением (I. 12.9) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях К, получим выражения тензорных функций

и соотношение

Оно по (I. 12.10) преобразуется к виду

определяющему однуиз форм записи теоремы Кейли — Гамильтона (1.10.11). Действительно, имея в виду, что можно представить (1.12.11) после умножения на в виде (1.10.11).

5°. Градиент инвариантного скаляра. Выражение этой величины непосредственно следует из формул (1.12.8), (1.12.10):

Заменив здесь значением (1.10.12), придем к другой форме записи:

Здесь изотропная тензорная функция, образованная с помощью инвариантного скаляра представлена в виде квадратичного полинома (или в эквивалентном виде (1.12.12)) над тензором с коэффициентами, являющимися инвариантными скалярами. Это — частный случай представления (1.12.4) изотропной тензорной функции

Замечание. Соотношением (1.12.4), Конечно, не исчерпывается многообразие соотношений между двумя симметричными тензорами. В выражение инвариантной связи между ними

могут входить некоторые тензоры с помощью которых может быть из тензора сконструирован симметричный тензор Примером может служить соотношение

в котором тензор получен двойным свертыванием тензора шестого ранга Компоненты тензора должны быть при этом симметричны относительно индексов в каждой паре что уменьшает их число от 81 до 36. Такова, в частности, связь тензоров напряжения и деформации в упругом анизотропном теле (тогда число независимых компонент уменьшается до 21).