§ 2. Приведение к краевым задачам для уравнений Лапласа и Пуассона
2.1. Введение функций напряжений.
Введем в рассмотрение две функции 
где 
модуль сдвига, а — определяемая ниже постоянная; функция 
предполагается определяемой из уравнения Лапласа
Можно тождественно удовлетворить уравнению статики (1.5.1), приняв
Тогда
и подстановка в уравнения Бельтрами — Мичелла (1.5.9) гл. IV приводит к равенствам
Эта постоянная принимается равной —2, что не нарушает общности, поскольку в выражение напряжений через 
уже введена постоянная а. Итак, 
определяется из уравнения Пуассона
Краевое условие (1.5.3) можно записать, учитывая (1.1.5), в виде
причем 
— модуль Юнга и, как всегда,
Таким образом, функции 
можно подчинить краевым условиям
Гармоническая функция х определяется по заданию на контуре области 
ее нормальной производной — это классическая задача Неймана; она имеет решение, так как
Гармоническую функцию 
удобно представить суммой двух гармонических функций:
определяемых по краевым условиям
Поскольку 
гармонические функции, можно ввести в рассмотрение две функции комплексного переменного 
Функции 
связаны с 
известными соотношениями Коши — Римана
или
и определяются по 
квадратурами с точностью до аддитивной постоянной.
Вместо функции напряжений 
удовлетворяющей уравнению Пуассона, в рассмотрение вводится функция
Она по (2.1.3) является гармонической в 
и рассматривается далее как мнимая часть функции комплексного переменного 
вещественная часть которой обозначается 
поэтому
так что
Краевое условие (2.1.4) теперь представляется в виде
Приведем еще несколько измененную запись выражений касательных напряжений (2.1.2):
Здесь и далее для упрощения введены обозначения
