удовлетворяет краевому условию
что и требуется согласно (3.2.1). По (3.2.4) находим
Не имеющие значения слагаемые, линейные относительно координат
можно отбросить и представить решение в виде
Напряжения легко вычисляются по формулам (1.10.2). Отличным от нуля оказывается только
где
угол, отсчитываемый от оси
(от направления силы) к оси
Итак, на площадках, перпендикулярных вектор-радиусу
имеются лишь сжимающие нормальные напряжения, тогда как напряжения на площадках вдоль
в частности на границе, отсутствуют.
Напряжение в точке приложения силы бесконечно; это объясняется тем, что сосредоточенная сила мыслится как предельный случай силы, распределенной по малой площадке.
Рис. 40.
Линиями одинаковых нормальных напряжений являются кривые
Это окружности диаметра
касающиеся границы в точке приложения силы (рис. 40). Известно (п. 2.2 гл. I), что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных
мальных напряжений, так что в плоском напряженном состоянии
Поэтому линии
одновременно являются и линиями
Оптический метод изучения напряжений позволяет
непосредственно наблюдать и фотографировать линии Тшах
в плоских прозрачных напряженных моделях. Эти линии вблизи точек приложения сосредоточенных сил, нормальных к границе, действительно представляют круги.
Компоненты тензора напряжений в декартовых координатах даются равенствами
Вектор перемещения, вычисляемый по функции напряжений (3.2.6), для плоского напряженного состояния по формулам (1.7.7), (1.7.2), представляется его проекциями
В задаче о плоской деформации эти формулы записываются в виде
В частности, на оси х имеем
отбрасывая постоянное слагаемое, а также перемещение поворота, имеем
причем
в задаче о плоском напряженном состоянии и
в случае плоской деформации.