3.2. Задача Фламана (1892).

Рассматривается действие сосредоточенной силы, нормальной к границе упругой полуплоскости Эта задача является аналогом частной задачи Буссинека (п. 2.2. гл. V) для полупространства.

Ось направлена внутрь полуплоскости, а точка приложения сонаправленной с осью силы принимается за начало координат системы За начало обхода границы принимается бесконечно удаленная точка на ней, так что обходимая область остается слева. Тогда краевые условия в соответствии с формулами (1.8.4), (1.8.6) могут быть записаны в виде

Бигармоническую функцию напряжений естественно разыскивать в виде

где функции, гармонические в полуплоскости [см. также (1.11.1)]. По первому условию (3.2.1) имеем теперь

Но следствием равенства граничных значений двух гармонических в области функций является их равенство во всей области; отсюда следует, что

Здесь получено общее представление функции напряжений в полуплоскости при отсутствии нагружения, касательного к границе

Переходя к построению функции напряжений вида (3.2.4), рассмотрим гармоническую функцию

На границе области она принимает значения

и теперь нетрудно проверить, что гармоническая функция

удовлетворяет краевому условию

что и требуется согласно (3.2.1). По (3.2.4) находим

Не имеющие значения слагаемые, линейные относительно координат можно отбросить и представить решение в виде

Напряжения легко вычисляются по формулам (1.10.2). Отличным от нуля оказывается только

где угол, отсчитываемый от оси (от направления силы) к оси Итак, на площадках, перпендикулярных вектор-радиусу имеются лишь сжимающие нормальные напряжения, тогда как напряжения на площадках вдоль в частности на границе, отсутствуют.

Напряжение в точке приложения силы бесконечно; это объясняется тем, что сосредоточенная сила мыслится как предельный случай силы, распределенной по малой площадке.

Рис. 40.

Линиями одинаковых нормальных напряжений являются кривые

Это окружности диаметра касающиеся границы в точке приложения силы (рис. 40). Известно (п. 2.2 гл. I), что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных мальных напряжений, так что в плоском напряженном состоянии

Поэтому линии одновременно являются и линиями Оптический метод изучения напряжений позволяет

непосредственно наблюдать и фотографировать линии Тшах в плоских прозрачных напряженных моделях. Эти линии вблизи точек приложения сосредоточенных сил, нормальных к границе, действительно представляют круги.

Компоненты тензора напряжений в декартовых координатах даются равенствами

Вектор перемещения, вычисляемый по функции напряжений (3.2.6), для плоского напряженного состояния по формулам (1.7.7), (1.7.2), представляется его проекциями

В задаче о плоской деформации эти формулы записываются в виде

В частности, на оси х имеем отбрасывая постоянное слагаемое, а также перемещение поворота, имеем

причем

в задаче о плоском напряженном состоянии и

в случае плоской деформации.