§ 5. Эллипсоид

5.1. Эластостатическая задача Робена для трехосного эллипсоида.

Постановка задачи была дана в п. 4.7 гл. IV, а в п. 3.3 приведено ее решение в наиболее простом случае смещения твердой сферы в неограниченной упругой среде. Здесь эта задача рассматривается в предположении, что смещаемым твердым телом является трехосный эллипсоид

с полуосями При решении используются потенциалы простого слоя на эллипсоиде, перечисленные в (VI. 8.3) и обозначаемые здесь для упрощения записей через На поверхности эллипсоида и внутри него эти потенциалы принимают значения, соответственно равные

а вне эллипсоида

Функции задаются эллиптическими интегралами с помощью формул (VI. 7.5) обозначения в них здесь заменены на для , а — на для .

Далее рассматривается сначала случай задания впаянному в упругую среду эллипсоиду поступательного перемещения

и затем отдельно — перемещения поворота

где вектор-радиус точки на поверхности (5.1.1).

5.2. Поступательное перемещение.

Для построения гармонических вектора В и скаляра в решении Папковича — Нейбера (1.4.10) гл. IV, записываемом здесь в виде

применяются потенциалы Принимаем

и шести постоянных оказывается достаточным, чтобы удовлетворить краевым условиям (5.1.5). Действительно, развернутая запись равенств (5.2.1) представляется в виде

и остается принять

Отсюда находим постоянные Используя также соотношения (III. 11.26), приходим к выражениям перемещений

где введены обозначения

причем