Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.5. Необходимые условия равновесия сплошной среды.
Выделим из среды целиком расположенный внутри нее, а в остальном произвольный объем
ограниченный поверхностью
не
имеющей общих точек с поверхностью О объема V, равновесие которого рассматривается. Распределенные по О поверхностные силы, внутренние для V (внешние для У, обусловлены существованием в V напряженного состояния, задаваемого тензором
Они определяются основным соотношением (1.3.2), в котором
единичный вектор внешней нормали к О.
Имеются две группы необходимых условий равновесия — уравнения равновесия в объеме V и уравнения равновесия на его поверхности О.
Уравнения равновесия в объеме выражают условия обращения в нуль главного вектора и главного момента массовых и поверхностных сил, действующих на произвольно выделенный из V объем У. Сославшись на (1.2.1), (1.2.7), имеем
и после замены
по формуле (1.3.2)
Преобразуя поверхностные интегралы в объемные [см. (II. 5.5), (II. 5.6)], получим
где
— сопутствующий тензору
вектор, определяемый кососимметричной частью этого тензора. Приходим к равенствам
Из равенства
когда У — произвольный объем, а
непрерывная функция координат, следует, что
так как, если предположить, что
в некоторой точке V-объема, то она сохранит по непрерывности знак в окрестности этой точки. Такую окрестность
можно принять за объем V, а интеграл от знакопостоянной функции не может быть нулем.
Отсюда и из формулы (1.5.3) следует, что
Это — первое уравнение равновесия сплошной среды; из него и (1-5.3) следует теперь, что
а этим доказано, что тензор
симметричный:
Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4), (1.5.5) записаны здесь в инвариантной форме. Их запись в декартовых координатах
-объема имеет вид трех дифференциальных уравнений статики сплошной среды
и трех уравнений, выражающих симметричность тензора напряжений,
Более общее предложение, выражающее это свойство, можно, основываясь на (1.5.5) и (1.4.3), записать в виде
-произвольно ориентированные единичные векторы)
— проекция на направление
вектора напряжения на площадке с нормалью «1 равна проекции на
вектора напряжения на площадке с нормалью
Уравнения равновесия (1.5.6), (1.5.7) легко получить из наглядных представлений, выражая, что главный вектор и главный момент действующих на выделенный из среды элементарный параллелепипед поверхностных и объемных сил равен нулю.
Поверхностные силы на гранях (передней и задней), перпендикулярных оси
равны
где
значение
в центре параллелепипеда. Вектор-радиусы точек приложения этих сил, взяв начало в вершине параллелепипеда, можно считать равными
причем
— вектор-радиус центра параллелепипеда. Подобным же образом составляются выражения сил и вектор-радиусов их точек приложения для правой и левой граней, перпендикулярных
и для верхней и нижней граней, перпендикулярных
Объемная сила
считается приложенной в центре параллелепипеда. Приравнивая теперь нулю главный вектор всех перечисленных сил и их главный момент относительно точки О и учитывая (1.3.1), после сокращения на
при
к двум векторным уравнениям:
причем последняя группа слагаемых в (1.5.10) отпадает по (1.5.9). Получили соотношения, представляющие иную запись уравнений (1.5.6), (1.5.7):
Три уравнения равновесия (1.5.6) содержат шесть компонент симметричного тензора напряжения. Это, конечно, только необходимые условия равновесия; получение также и достаточных условий неизбежно требует рассмотрения физической модели
среды (упругое тело, вязкая жидкость). Задача о равновесии сплошной среды статически неопределима.
Уравнения равновесия на поверхности О, ограничивающей объем V, представляют запись основного соотношения (1.3.2), в котором
заменено распределенной по О поверхностной силой
Другие формы записи этого равенства имеют вид
или
где N - проекции единичного вектора
на координатные оси.
Условимся говорить, что любое частное решение уравнений равновесия в объеме и на поверхности определяет статически возможное состояние среды. Многообразие таких состояний — многообразие удовлетворяющих трем краевым условиям (1.5.15) частных решений системы трех дифференциальных уравнений в частных производных (1.5.6), содержащих шесть неизвестных. Задача статики сплошной среды состоит в определении в этом многообразии состояния, реализуемого в принятой физической модели.