1.5. Необходимые условия равновесия сплошной среды.

Выделим из среды целиком расположенный внутри нее, а в остальном произвольный объем ограниченный поверхностью не

имеющей общих точек с поверхностью О объема V, равновесие которого рассматривается. Распределенные по О поверхностные силы, внутренние для V (внешние для У, обусловлены существованием в V напряженного состояния, задаваемого тензором Они определяются основным соотношением (1.3.2), в котором единичный вектор внешней нормали к О.

Имеются две группы необходимых условий равновесия — уравнения равновесия в объеме V и уравнения равновесия на его поверхности О.

Уравнения равновесия в объеме выражают условия обращения в нуль главного вектора и главного момента массовых и поверхностных сил, действующих на произвольно выделенный из V объем У. Сославшись на (1.2.1), (1.2.7), имеем

и после замены по формуле (1.3.2)

Преобразуя поверхностные интегралы в объемные [см. (II. 5.5), (II. 5.6)], получим

где — сопутствующий тензору вектор, определяемый кососимметричной частью этого тензора. Приходим к равенствам

Из равенства

когда У — произвольный объем, а непрерывная функция координат, следует, что так как, если предположить, что в некоторой точке V-объема, то она сохранит по непрерывности знак в окрестности этой точки. Такую окрестность

можно принять за объем V, а интеграл от знакопостоянной функции не может быть нулем.

Отсюда и из формулы (1.5.3) следует, что

Это — первое уравнение равновесия сплошной среды; из него и (1-5.3) следует теперь, что а этим доказано, что тензор симметричный:

Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4), (1.5.5) записаны здесь в инвариантной форме. Их запись в декартовых координатах -объема имеет вид трех дифференциальных уравнений статики сплошной среды

и трех уравнений, выражающих симметричность тензора напряжений,

Более общее предложение, выражающее это свойство, можно, основываясь на (1.5.5) и (1.4.3), записать в виде -произвольно ориентированные единичные векторы)

— проекция на направление вектора напряжения на площадке с нормалью «1 равна проекции на вектора напряжения на площадке с нормалью

Уравнения равновесия (1.5.6), (1.5.7) легко получить из наглядных представлений, выражая, что главный вектор и главный момент действующих на выделенный из среды элементарный параллелепипед поверхностных и объемных сил равен нулю.

Поверхностные силы на гранях (передней и задней), перпендикулярных оси равны

где значение в центре параллелепипеда. Вектор-радиусы точек приложения этих сил, взяв начало в вершине параллелепипеда, можно считать равными

причем

— вектор-радиус центра параллелепипеда. Подобным же образом составляются выражения сил и вектор-радиусов их точек приложения для правой и левой граней, перпендикулярных

и для верхней и нижней граней, перпендикулярных

Объемная сила считается приложенной в центре параллелепипеда. Приравнивая теперь нулю главный вектор всех перечисленных сил и их главный момент относительно точки О и учитывая (1.3.1), после сокращения на при к двум векторным уравнениям:

причем последняя группа слагаемых в (1.5.10) отпадает по (1.5.9). Получили соотношения, представляющие иную запись уравнений (1.5.6), (1.5.7):

Три уравнения равновесия (1.5.6) содержат шесть компонент симметричного тензора напряжения. Это, конечно, только необходимые условия равновесия; получение также и достаточных условий неизбежно требует рассмотрения физической модели

среды (упругое тело, вязкая жидкость). Задача о равновесии сплошной среды статически неопределима.

Уравнения равновесия на поверхности О, ограничивающей объем V, представляют запись основного соотношения (1.3.2), в котором заменено распределенной по О поверхностной силой

Другие формы записи этого равенства имеют вид

или

где N - проекции единичного вектора на координатные оси.

Условимся говорить, что любое частное решение уравнений равновесия в объеме и на поверхности определяет статически возможное состояние среды. Многообразие таких состояний — многообразие удовлетворяющих трем краевым условиям (1.5.15) частных решений системы трех дифференциальных уравнений в частных производных (1.5.6), содержащих шесть неизвестных. Задача статики сплошной среды состоит в определении в этом многообразии состояния, реализуемого в принятой физической модели.