V.4. Дифференциальные операции в криволинейных координатах.

Полный дифференциал скаляра представляется в двух видах:

откуда следует, что производные по являются ковариантными компонентами вектора в векторном базисе и по (IV. 2.1)

Аналогично вычисляется полный дифференциал вектора. По (II. 2.11) имеем

и тензор может быть представлен суммой диад

Из (V. 4.1) и (V. 4.2) следует представление набла-оператора в виде

Это правило в соединении с правилами ковариантного дифференцирования обеспечивает автоматизм вычисления дифференциальных операций над тензорами любого ранга.

1°. Дивергенция вектора

и, сославшись на (V. 3.11), получим

2°. Ротор вектора

Но

так что

3°. Градиент вектора

4°. Тензор деформации

Величины в квадратных скобках представляют ковариантные компоненты этого тензора.

5°. Дивергенция тензора второго ранга

Сославшись на (V. 3.11) и (V. 2.2), имеем теперь

Получаем

6°. Лапласиан скаляра

или

Выражения дифференциальных операций второго порядка над векторами и тензорами весьма громоздки. Как пример приведем лапласиан вектора

См. также п. V. 7.