V.4. Дифференциальные операции в криволинейных координатах.
Полный дифференциал скаляра
представляется в двух видах:
откуда следует, что производные
по
являются ковариантными компонентами вектора
в векторном базисе
и по (IV. 2.1)
Аналогично вычисляется полный дифференциал вектора. По (II. 2.11) имеем
и тензор
может быть представлен суммой диад
Из (V. 4.1) и (V. 4.2) следует представление набла-оператора в виде
Это правило в соединении с правилами ковариантного дифференцирования обеспечивает автоматизм вычисления дифференциальных операций над тензорами любого ранга.
1°. Дивергенция вектора
и, сославшись на (V. 3.11), получим
2°. Ротор вектора
Но
так что
3°. Градиент вектора
4°. Тензор деформации
Величины в квадратных скобках представляют ковариантные компоненты этого тензора.
5°. Дивергенция тензора второго ранга
Сославшись на (V. 3.11) и (V. 2.2), имеем теперь
Получаем
6°. Лапласиан скаляра
или
Выражения дифференциальных операций второго порядка над векторами и тензорами весьма громоздки. Как пример приведем лапласиан вектора
См. также п. V. 7.