3.5. Тензор влияния в неограниченной упругой среде.

В неограниченной упругой среде мысленно выделяется конечный объем ограниченный поверхностью остающийся бесконечный объем с полостью назовем

В точке упругой среды прикладывается единичная сосредоточенная сила создающая напряженное состояние, определяемое тензором Тогда уравнения статики для -объема записываются в виде

Через обозначен вектор-радиус, имеющий начало в точке точке «истока». Если вектор-радиусы точки «наблюдения» и точки истока с началом в начале координат О, то, очевидно,

Примем, что поверхностью О в формуле (3.5.1) служит сфера О радиуса с центром в точке истока это не ограничивает общности приводимого ниже рассуждения, так как значение интегралов в (3.5.1) по любой поверхности, охватывающей сферу О, неизменно. Уравнение (3.5.1) теперь записывается в виде

где О — сфера единичного радиуса, элемент ее поверхности; отсюда следует, что главный вектор напряжений на любой поверхности, содержащей точку внутри себя, имеет не зависящее значение — а это возможно лишь при условии, что компоненты тензора убывают, как Но тогда вектор перемещения должен убывать при удалении от точки как

Этим подсказывается характер решения. Гармонический вектор В в решении Папковича — Неибера (1.4.10) следует принять равным

так как единственная гармоническая функция с таким характером убывания на бесконечности, а вектор должен войти в решение задачи; через А обозначена постоянная, подлежащая определению из условия (3.5.1). Введение гармонического скаляра излишне, и вектор перемещения представляется по (1.4.10) в виде

так как

Тензор напряжения вычисляется по (1.4.15). Имеем

и подстановка дает

Для определения А имеем равенство

Но на поверхности сферы О

так что

и, имея в виду, что

находим

Представляя теперь вектор перемещения в форме (3.2.1), приходим к равенству

в котором тензор влияния для неограниченной упругой среды — тензор Кельвина — Сомильяна — представляется по (3.5.5) формулами

Вектор напряжения на площадке в точке с нормалью оказывается равным

и может быть представлен в виде произведения справа на вектор

«силового» тензора влияния, определяемого формулами

Уравнения статики (3.5.1) и (3.5.2) теперь представляются в виде

и при любом расположении точки

Развернутая запись первого имеет вид

Вместе с тем согласно известной теореме Гаусса о потенциале двойного слоя постоянной (единичной) плотности, распределенного по замкнутой поверхности,

и поэтому

при любом расположении точки в том числе и на О. Это позволяет записать (3.5.13) в более полном виде:

где - функция положения точки определяемая равенствами

Равенство (3.5.18), многократно используемое ниже, будем называть обобщенной теоремой Гаусса.

Заметим еще, что соотношения (3.5.14) и (3.5.17) несложно проверить непосредственным вычислением.