3.5. Тензор влияния в неограниченной упругой среде.
В неограниченной упругой среде мысленно выделяется конечный объем
ограниченный поверхностью
остающийся бесконечный объем с полостью
назовем
В точке
упругой среды прикладывается единичная сосредоточенная сила
создающая напряженное состояние, определяемое тензором
Тогда уравнения статики для
-объема записываются в виде
Через
обозначен вектор-радиус, имеющий начало в точке
точке «истока». Если
вектор-радиусы точки «наблюдения»
и точки истока
с началом в начале координат О, то, очевидно,
Примем, что поверхностью О в формуле (3.5.1) служит сфера О радиуса
с центром в точке истока
это не ограничивает общности приводимого ниже рассуждения, так как значение интегралов в (3.5.1) по любой поверхности, охватывающей сферу О, неизменно. Уравнение (3.5.1) теперь записывается в виде
где О — сфера единичного радиуса,
элемент ее поверхности; отсюда следует, что главный вектор напряжений на любой поверхности, содержащей точку
внутри себя, имеет не зависящее
значение —
а это возможно лишь при условии, что компоненты тензора
убывают, как
Но тогда вектор перемещения должен убывать при удалении от точки
как
Этим подсказывается характер решения. Гармонический вектор В в решении Папковича — Неибера (1.4.10) следует принять равным
так как
единственная гармоническая функция с таким характером убывания на бесконечности, а вектор
должен войти в решение задачи; через А обозначена постоянная, подлежащая определению из условия (3.5.1). Введение гармонического скаляра
излишне, и вектор перемещения представляется по (1.4.10) в виде
так как
Тензор напряжения вычисляется по (1.4.15). Имеем
и подстановка дает
Для определения А имеем равенство
Но на поверхности сферы О
так что
и, имея в виду, что
находим
Представляя теперь вектор перемещения в форме (3.2.1), приходим к равенству
в котором тензор влияния
для неограниченной упругой среды — тензор Кельвина — Сомильяна — представляется по (3.5.5) формулами
Вектор напряжения на площадке в точке
с нормалью
оказывается равным
и может быть представлен в виде произведения справа на вектор
«силового» тензора влияния, определяемого формулами
Уравнения статики (3.5.1) и (3.5.2) теперь представляются в виде
и при любом расположении точки
Развернутая запись первого имеет вид
Вместе с тем согласно известной теореме Гаусса о потенциале двойного слоя постоянной (единичной) плотности, распределенного по замкнутой поверхности,
и поэтому
при любом расположении точки
в том числе и на О. Это позволяет записать (3.5.13) в более полном виде:
где
- функция положения точки
определяемая равенствами
Равенство (3.5.18), многократно используемое ниже, будем называть обобщенной теоремой Гаусса.
Заметим еще, что соотношения (3.5.14) и (3.5.17) несложно проверить непосредственным вычислением.