3.6. Кручение круглого цилиндра.

Как и в п. 3.1, материальные координаты отождествляются с цилиндрическими координатами точки в начальном состоянии. Деформация кручения задается поворотом поперечных сечений цилиндра, сопровождаемым

осевым перемещением; оно вводится, как и выше, с помощью постоянного параметра а:

Вектор-радиус точки скрученного цилиндра представляется формулой (6.4.2) гл. II:

причем в выражение (6.2.12) гл. II тензора А следует внести изменения, учитывающие осевое перемещение и сохранение объема:

Постбянная представляет угол кручения на единицу длины в осевом направлении.

Записывая теперь в виде

и вспомнив формулы дифференцирования

получаем такие представления базисных векторов в деформированном цилиндре:

или

где

Этим определяются ковариантные компоненты метрического тензора

так что

Контравариантные компоненты и главные инварианты тензора равны

Выражения контравариантных компонент тензора напряжений записываются в виде

Из представления тензора напряжений в векторном базисе деформированного объема

получаем выражения физических компонент напряжения

Закон состояния (3.6.7) для этих компонент записывается в виде

Здесь совершен переход с помощью формул (2.1.4) гл. VIII от «модулей» к производным удельной потенциальной энергии по инвариантам.

После исключения неизвестной с приходим к используемым далее соотношениям

причем