2.9. Задача Дирихле для полупространства.

Гармоническая в полупространстве функция представляющая потенциал двойного слоя плотности распределенного по области плоскости определяется равенством

где, как выше, а функция

представляет потенциал простого слоя той же плотности По (2.3.6)

Поэтому гармоническая функция

дает в полупространстве решение задачи Дирихле

Пусть точка наблюдения расположена внутри цилиндра с основанием и образующими, параллельными оси Рассмотрим сначала случай постоянной на плотности; тогда по (2.8.5) и (2.9.1)

и, далее,

Заметим, что правая часть не является постоянной, так как зависит от выбора начала системы полярных координат . В общем случае задания плотности, записав (2.8.2) в виде

имеем

и, далее,

Полагая

где конечно при и учитывая, что

легко получим

Этим доказано, что в предположении о представимости плот ности в форме (2.9.7) нормальная производная потенциала двойного слоя будет конечной, когда точка наблюдения, остающаяся внутри упомянутого цилиндра, переходит в точку

Сославшись на (2.9.1), (2.8.2), имеем также

и не может возникнуть сомнения, что нормальная производная в этом случае также конечна; она равна нулю на бесконечности, так как при разность —