представляет потенциал простого слоя той же плотности
По (2.3.6)
Поэтому гармоническая функция
дает в полупространстве
решение задачи Дирихле
Пусть точка наблюдения
расположена внутри цилиндра с основанием
и образующими, параллельными оси
Рассмотрим сначала случай постоянной на
плотности; тогда по (2.8.5) и (2.9.1)
и, далее,
Заметим, что правая часть не является постоянной, так как
зависит от выбора начала
системы полярных координат
. В общем случае задания плотности, записав (2.8.2) в виде
имеем
и, далее,
Полагая
где
конечно при
и учитывая, что
легко получим
Этим доказано, что в предположении о представимости плот ности в форме (2.9.7) нормальная производная потенциала двойного слоя будет конечной, когда точка наблюдения, остающаяся внутри упомянутого цилиндра, переходит в точку
Сославшись на (2.9.1), (2.8.2), имеем также
и не может возникнуть сомнения, что нормальная производная в этом случае также конечна; она равна нулю на бесконечности, так как при
разность —