1.14. Учет температурных слагаемых.
В системе исходных уравнений теории упругости п. 1.1 изменится только форма записи обобщенного закона Гука. Теперь по (3.4.8) гл. III, воспользовавшись таблицей связей между модулями упругости в п. 3.1 гл. III, имеем
где, напоминаем, 0 — температура, отсчитываемая от температуры натурального состояния. Обратное соотношение записывается в виде
Далее принимается, что внешние силы (массовые и поверхностные) отсутствуют. В предположении, что задача теплопроводности может рассматриваться независимо от задачи теории упругости (см. п. 3.5 гл. III), это не идет в ущерб общности, так как линейность задачи для тела, подчиняющегося закону Гука, допускает наложение напряженных состояний, вызываемых действием объемных сил, поверхностных сил и изменением температуры и определяемых по отдельности для каждого из перечисленных факторов.
Повторив вывод уравнений в перемещениях (1.3.2) с учетом температурного члена в (1.14.1), получим
Краевое условие (1.3.11) запишется в виде
Сравнение показывает, что влияние температурного слагаемого в выражении закона Гука можно формально свести к
заданию массовых сил с потенциалом, пропорциональным температуре:
и нормальных к поверхности тела О поверхностных сил
Из сопоставления выражений (1.14.5) и (1.4.7) следует, что уравнение (1.14.3) допускает частное решение
где 
определяется из уравнения Пуассона
Перейдем к составлению дифференциальных уравнений в напряжениях. К уравнению статики при отсутствии массовых сил
добавляется по (1,5.1) и (1,14.2) условие
Но по (1.5.2)
и условие (1,14.10), сославшись на (1,5.3), можно записать в виде
Из него, образуя первый инвариант, имеем
так что
Если температура — линейная функция координат (п. 2.3 гл. II):
то зависящее от нее слагаемое в (1,14.13) отпадает. Поэтому, в предположении отсутствия поверхностных сил на всей поверхности тела:
все уравнения (1.14.9), (1.14.14) и (1.14.13), определяющие тензор 
однородны; им во всем объеме удовлетворяет решение
и оно — единственное (п. 4.1). Итак, при линейном законе распределения температуры в упругом теле не возникает температурных напряжений. Вектор перемещения в этом случае вычисляется по формуле (2.3.5) гл. II, в которую можно внести еще слагаемые вида (2.2.6) гл. II, определяющие поворот среды как твердого тела 
вектор-радиус):
Сказанное имеет место лишь в предположении, что условие (1.14.14) выполнено на всей поверхности О. Если же на ее части и задан вектор перемещения, отличающийся от определяемого формулой (1.14.15), то возникнет напряженное состояние, обусловливаемое воздействием приспособлений (реакций связей), обеспечивающих сообщение требующегося перемещения.
Нетрудно также проверить, что вектор перемещения (1.14.15) удовлетворяет при линейном распределении температуры дифференциальному уравнению (1.14.3) и краевому условию (1.14.4).
