3.6. Первый тензор конечной деформации.
Замена в выражении первой меры деформации вектор-радиуса
точки
-объема его значением через вектор перемещения и вводит в рассмотрение симметричный тензор второго ранга, называемый первым тензором конечной деформации (Коши-Грина) и обозначаемый далее
(в противопоставление линейному тензору деформации
Сославшись на (1.1.4) и (3.3.2) и заменив по (3.2.7).
Как указывалось в п. 1.1, в линейной теории упругости принимается предположение о малости компонент тензора
позволяющее пренебречь квадратами этих величин по сравнению с первыми степенями. При этом условии тензор конечной деформации заменяется линейным тензором деформации
и по формулам (3.6.8)
Этим объясняются принятые в линейной теории наименования диагональных компонент тензора
относительными удлинениями, а недиагональных — сдвигами. Последние здесь представляют изменения первоначально прямых углов между отрезками, параллельными координатным осям.
Относительные удлинения
и сдвиги
в большом числе задач теории упругости оказываются достаточно малыми, что дает основание к замене формул (3.6.8) приближенными равенствами (3.6.10). Однако малость самих относительных удлинений и сдвигов еще не может служить основанием для замены тензора
на
-требуется, как говорилось, малость всех компонент тензора-градиента перемещения
Так, в
будет приведен пример, когда
(поворот среды как твердого тела), тогда как
и компоненты этого тензора могут быть сколь угодно большими. Очевидно, что здесь возможность отождествления тензоров
отпадает. Эти же вопросы рассматриваются в