3.6. Первый тензор конечной деформации.

Замена в выражении первой меры деформации вектор-радиуса точки -объема его значением через вектор перемещения и вводит в рассмотрение симметричный тензор второго ранга, называемый первым тензором конечной деформации (Коши-Грина) и обозначаемый далее

(в противопоставление линейному тензору деформации Сославшись на (1.1.4) и (3.3.2) и заменив по (3.2.7).

единичный тензор его представлением в базисе -объема, имеем

Определив равенством

получим

Если материальными координатами точки считать ее декартовы координаты в системе осей и через обозначить проекции и на эти оси, то по (3.3.6) компоненты тензора в этих осях представятся в виде

где определяются по формулам (1.2.7), (1.2.8), в записи которых заменяются на чтобы отличить проекции и на оси декартовой системы (перемещения) от ковариантных компонент этого вектора в векторном базисе

Выражения ковариантных компонент тензора конечной деформации Коши через ковариантные компоненты вектора перемещения записываются по (, ( в виде

причем

Формулы, связывающие компоненты тензора конечной деформации с относительными удлинениями элементарных отрезков на базисных векторах в -объеме и с углами сдвига непосредственно получаются из (3.4.4) и (3.4.8) при замене соответственно на Они записываются в виде

если в качестве материальных координат ввести декартовы координаты в -объеме.

Как указывалось в п. 1.1, в линейной теории упругости принимается предположение о малости компонент тензора позволяющее пренебречь квадратами этих величин по сравнению с первыми степенями. При этом условии тензор конечной деформации заменяется линейным тензором деформации

и по формулам (3.6.8)

Этим объясняются принятые в линейной теории наименования диагональных компонент тензора относительными удлинениями, а недиагональных — сдвигами. Последние здесь представляют изменения первоначально прямых углов между отрезками, параллельными координатным осям.

Относительные удлинения и сдвиги в большом числе задач теории упругости оказываются достаточно малыми, что дает основание к замене формул (3.6.8) приближенными равенствами (3.6.10). Однако малость самих относительных удлинений и сдвигов еще не может служить основанием для замены тензора на -требуется, как говорилось, малость всех компонент тензора-градиента перемещения Так, в будет приведен пример, когда (поворот среды как твердого тела), тогда как и компоненты этого тензора могут быть сколь угодно большими. Очевидно, что здесь возможность отождествления тензоров отпадает. Эти же вопросы рассматриваются в