5.3. Эффекты второго порядка.

Приближенное решение краевой задачи (5.2.4), (5.2.5) представляется вектором перемещения и, задаваемым геометрической суммой:

Здесь вектор, определяющий решение уравнений линейной теории при заданных поверхностных силах:

Оно предполагается известным. Корректирующее слагаемое — вектор вносится, чтобы удовлетворить уравнениям, учитывающим слагаемые второй степени относительно величин - производных вектора перемещения и. Поскольку оно имеет такой же порядок, дифференциальные операторы над вектором и, входящие в состав тензора (исключая могут быть заменены с принятой ранее точностью операторами над

Неучтенные члены имеют по крайней мере третий порядок малости. Поскольку линейный оператор, имеем также

и по

Уравнения равновесия (5.2.4), (5.2.5) в объеме и на поверхности теперь представляются в виде

Вспомнив теперь, что вектор определен уравнениями (5.3.2), приходим к уравнениям также линейной теории

определяющим вектор по известным «объемным» и «поверхностным» силам

Не составил бы труда также учет слагаемых второй степени в выражениях массовых и поверхностных сил

Задача будет иметь решение, если «внешние силы» удовлетворяют уравнениям статики

Выполнение первого легко проверить, преобразуя поверхностный интеграл в объемный:

что и требуется. Затруднение возникает со вторым уравнением, поскольку входящий в состав тензор несимметричен. Сославшись на (II. 5.6), имеем

Здесь вектор, сопутствующий несимметричной части

тензора Этот вектор может быть определен равенством

и второе уравнение статики будет выполнено при условии

В развернутой записи выражение вектора 2а имеет вид

или

Итак, необходимым условием существования решения краевой задачи (5.3.8) служит равенство

Но в рассматриваемой второй краевой задаче (на заданы поверхностные силы вектор определен с точностью до аддитивного постоянного слагаемого поэтому, приняв причем например, следует подчинить выбор вектора условию

В нем вектор известен. Пришли к системе уравнений для неизвестных

коэффициенты которой — средние по объему значения напряжений

— можно выразить через внешние силы с помощью формул (4.3.2) гл. Определитель этой системы должен быть отличен от нуля:

и при невыполнении этого условия (при краевая задача (5.3.8) может не иметь решения; учет эффекта нелинейности не достигается внесением поправки в решение линейной задачи. Проверка критерия (5.3.17) осуществляется лишь по заданию внешних сил и не требует решения линейной краевой задачи (5.3.2), (6.3.3). Аддитивный постоянный вектор входящий в решение этой задачи, определяется на этапе учета нелинейного эффекта второго порядка (вектора

Решение краевой задачи (5.3.8) для вектора затруднено сложностью выражений «объемных и поверхностных сил» Применение теоремы взаимности позволяет определить по ним средние значения деформаций и напряжений; этим можно довольствоваться во многих задачах, когда необходимость учета деталей распределения перемещений в теле отодвинута на второй план.

Вычисления, требуемые теоремой взаимности, несколько упрощаются вследствие специальной структуры векторов Обращаясь к формуле (3.3.5) гл. IV, имеем

Здесь вспомогательный постоянный симметричный тензор второго ранга; — его первый инвариант;

средние по объему значения тензора деформации и объемного расширения вектор-радиус; первый инвариант произведения тензоров Полагая для сокращения записи

имеем

и, вспомнив формулы (5.3.9),

Соотношение (5.3.18) теперь приводится к виду

Например, полагая получаем среднее значение

Приняв соответственно находим средние значения

так что