1.3. Тензор второго ранга.

Определение этого следующего за вектором по сложности физического объекта можно вводить различными способами. Сначала остановимся на одном из них.

В системе осей рассматривается квадратная матрица

и с помощью чисел этой матрицы проекциям вектора а сопоставляются числа по правилу

или, короче,

По такому же правилу определяется умножение квадратной матрицы на столбец а, в результате которого получаем столбец

Определение. Матрица определяет тензор второго ранга, обозначаемый если известно, что для любого вектора а числа являются проекциями вектора Элементы матрицы называются компонентами тензора в принятой системе осей. Операцию сопоставления вектору а вектора с помощью тензора называют умножением справа этого тензора на вектор а; она обозначается так:

С помощью матрицы (1.3.1) один физический объект (вектор а) преобразуется в другой — вектор Отсюда следует, что этой матрицей в системе осей определена величина, имеющая самостоятельное физическое содержание. Остается потребовать, чтобы ее способность сопоставлять вектору вектор сохранялась в любой координатной системе. Это значит, что элементы матрицы должны при переходе к новым осям подчиняться закону преобразования, обеспечивающему преобразование чисел как проекций вектора, то есть по правилу (1.1.6), в предположении, что преобразуются по этому же правилу. Итак,

откуда имеем

где обозначено

Сравнение (1.3.5) и (1.3.3) указывает, что правило умножения справа тензора на вектор а сохраняется в новой системе осей, если компоненты этого тензора подчиняются закону преобразования (1.3.6). Обратное преобразование имеет вид

Было бы смешением понятий отождествлять матрицу с тензором. Последний является самостоятельной физической величиной, задание которой требует знания этой матрицы. Основываясь на законах преобразования (1.3.6), (1.3.7), можно дать второе определение тензора второго ранга как физической величины, компоненты которой подчиняются этим законам при преобразовании поворота координатной системы.

Определитель матрицы обозначается Он является одним из инвариантов тензора Действительно,

Здесь использовано правило умножения определителей, а также (I. 1.9).

Примеры. Вектор момента количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, определяется через его вектор угловой скорости по известным формулам

где при центробежные моменты, моменты инерции твердого тела относительно связанных с ним осей. Таблицей этих величин определен тензор инерции 0° тела в точке О, а формулы (1.3.9) можно записать в виде

Тензор инерции определяет присущее вращадощемуся твердому телу поведение — это физическое свойство, количественно задаваемое матрицей чисел 0, преобразуемых при повороте системы осей по правилу (1.3.6).

2°. Рассмотрим стержень с прямолинейной осью (ось левый конец которого заделан. Начало системы осей поместим в центре инерции правого сечения стержня, направив оси по главным центральным осям инерции этого сечения. Приложение в точке С поперечной силы имеющей направление оси вызывает смещение этой точки по направлению силы; через обозначается смещение по оси при действии осевой силы Формулы

являются частным случаем (1.3.2), когда матрица (1.3.1) имеет диагональную форму:

Этим определен тензор податливости стержня в точке С, обозначаемый , а формулы (1.3.11) можно записать в виде

Отсутствие диагональных слагаемых в матрице (1.3.12) обусловлено специальным выбором координатной системы и, конечно, не является инвариантным свойством тензора . Например, при повороте системы осей на угол вокруг оси таблица косинусов примет вид

и по (1.3.6) матрица компонент тензора будет

так что теперь с помощью формул (I. 3.2) имеем

Элементарный вывод этих формул «косого изгиба» общеизвестен. Достоин внимания автоматизм вычисления, достигнутый применением простейших понятий тензорного исчисления.

3°. Формулами

где обозначают координаты точек с вектор-радиусами в системе осей определяется аффинное преобразование. При таком преобразовании прямая остается прямой, отрезок прямой, поворачиваясь, изменяет длину, прямоугольник преобразуется в параллелограмм, круг — в эллипс. Матрицей определяется тензор второго ранга а формулы (1.3.15) записываются в виде