5.11. Эллиптическая щель в упругой среде.
Аналогично рассматривается задача о напряженном состоянии в упругой среде с эллиптической щелью — щель представляет эллиптическую площадку в плоскости
ограниченную фокальным эллипсом
[см. (III. 1.16)]. Решение системы уравнений (5.8.9) представляется рядами по степеням параметра
и для решения задачи о щели достаточно ограничиться первыми членами этих рядов. Учитывая, что по (5.8.8), (5.7.2)
можно записать первые два уравнения (5.8.9) в этом приближении в виде
Из них следует
после чего из третьего уравнения (5.8.9) легко найти
Здесь
где
— полные эллиптические интегралы первого и второго рода, так что
и при
возвращаемся к формулам (5.10.2) для случая круглой щели.
Решение задачи — выражение проекций вектора перемещения
- записывается в виде, аналогичном (5.10.3):
Это решение записывается также в виде
и его можно представить через функции Папковича — Нейбера
Проверим, что оно удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, сославшись на формулы (III. 11.26) и (5.8.8) и учитывая равенство
имеем
и также
Значения входящих сюда величин на плоскости
в области внутри эллипса
и вне его
определяются из соотношений
На всей плоскости
откуда следует, что на этой плоскости
Поэтому нормальное напряжение
вычисляемое с учетом напряжения на бесконечности
оказывается равным
На эллипсе
это напряжение претерпевает разрыв непрерывности.
Проверим еще, что касательные напряжения
отсутствуют на всей плоскости
так как равна нулю по вышесказанному величина в скобках.
Отметим еще легко получаемое из приведенных формул выражение перемещения
Оно остается непрерывным на