5.11. Эллиптическая щель в упругой среде.

Аналогично рассматривается задача о напряженном состоянии в упругой среде с эллиптической щелью — щель представляет эллиптическую площадку в плоскости ограниченную фокальным эллипсом [см. (III. 1.16)]. Решение системы уравнений (5.8.9) представляется рядами по степеням параметра

и для решения задачи о щели достаточно ограничиться первыми членами этих рядов. Учитывая, что по (5.8.8), (5.7.2)

можно записать первые два уравнения (5.8.9) в этом приближении в виде

Из них следует

после чего из третьего уравнения (5.8.9) легко найти

Здесь

где — полные эллиптические интегралы первого и второго рода, так что

и при возвращаемся к формулам (5.10.2) для случая круглой щели.

Решение задачи — выражение проекций вектора перемещения - записывается в виде, аналогичном (5.10.3):

Это решение записывается также в виде

и его можно представить через функции Папковича — Нейбера

Проверим, что оно удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, сославшись на формулы (III. 11.26) и (5.8.8) и учитывая равенство

имеем

и также

Значения входящих сюда величин на плоскости в области внутри эллипса и вне его определяются из соотношений

На всей плоскости

откуда следует, что на этой плоскости

Поэтому нормальное напряжение вычисляемое с учетом напряжения на бесконечности

оказывается равным

На эллипсе это напряжение претерпевает разрыв непрерывности.

Проверим еще, что касательные напряжения отсутствуют на всей плоскости

так как равна нулю по вышесказанному величина в скобках.

Отметим еще легко получаемое из приведенных формул выражение перемещения

Оно остается непрерывным на