VI.8. Потенциалы простого слоя на эллипсоиде.

Сопоставим два решения уравнения Лапласа — одно, представимое гармоническим полиномом (VI. 6.1):

и второе, определяемое согласно (VI. 7.1) формулой

Приходим к рассмотрению функции

гармонической внутри и вне эллипсоида (VI. 8.4)

обращающейся в нуль на бесконечности непрерывной во всем пространстве и принимающей на поверхности О эллипсоида значения

Функция обладающая всеми характеристическими свойствами потенциала простого слоя, распределенного по этой поверхности, представима в виде

Плотность этого потенциала вычисляется по известному соотношению

где внешняя нормаль к эллипсоиду причем коэффициент Ляме определен по (III. 11.21) или (III. 11.22). Вместе с тем

так что

и по

Перечисленным в пп. VI. 6, VI. 7 решениям соответствуют потенциалы:

— это поле электростатического потенциала, создаваемого проводящей поверхностью эллипсоида на которой поддерживается постоянный потенциал; формула (VI. 8.7), в которой надо принять и определить эллиптическим интегралом (VI. 7.3), дает распределение заряда на этой поверхности.

2°. . Трем решениям (VI. 7.4) соответствуют потенциалы

3°. При имеем три потенциала, принимающие на поверхности значения, равные произведениям например,

Еще два потенциала, принимающие на поверхности значения (VI.6.10), строятся с помощью функций определяемых по (VI.7.10):

При выражение (VI. 8.3) для четных относительно z функций определяет потенциал пластинки, ограниченной фокальным эллипсом [см. (III. 11.16)]. Этот потенциал на поверхности пластинки имеет значение

а вне ее

Выражение плотности получим путем предельного перехода в (VI. 8.7) с удвоением результата, что соответствует наличию слоя на «верхней» и «нижней» сторонах выродившегося в пластинку эллипсоида:

Сославшись на (III. 11.14), легко преобразовать это выражение к виду

На границе пластинки — на фокальном эллипсе плотность становится бесконечной, но она на будет нулем, если в состав входит множитель

Такой потенциал пластинки с непрерывной плотностью может быть построен как линейная комбинацияпотенциалов

если в соответствии с (VI. 8.15) определить постоянные условием

[см. (VI. 6.10), (VI. 6.11)]. Тогда выражение плотности, соответствующей потенциалу будет

Соотношение (VI. 8.17) дает три уравнения, определяющие постоянные Этим определяется потенциал опуская промежуточные вычисления, приводим его выражение:

Это — объемный (ньютонов) потенциал эллипсоида

постоянной плотности на внешнюю точку Вместе с тем он представляет потенциал слоя на эллиптической пластинке, ограниченной эллипсом с плотностью, изменяющейся по закону (VI.8.18). Заметим еще, что ньютонов потенциал эллипсоида на его внутреннюю точку представляется квадратичной функцией координат х, у, z: