ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Напряженное состояние при аффинном преобразовании
1.1. Тензор напряжений при аффинном преобразовании.
В §§ 1—3 этой главы будут рассматриваться задачи нелинейной теории упругости, решение которых можно получить, не специализируя формы задания удельной потенциальной энергии от инвариантов деформации. Эта специализация, конечно, становится неизбежной для достижения числовых результатов.
Решение строится «обратным методом» и состоит из нескольких этапов: 1) задаемся формой осуществляемого преобразования 
в V-объем, 2) составляется выражение меры (или тензора) деформации, 3) записывается закон состояния, и осуществляется проверка, что определяемый им тензор напряжений удовлетворяет уравнениям статики в 
-объеме, 4) определяются поверхностные силы, требующиеся для поддержания этого напряженного состояния. Получаемые при этом порядке построения решения содержательны, если распределение так найденных поверхностных сил (массовые считаются отсутствующими или наперед заданными) достаточно просто реализуемо, а также если постановка задачи допускает замеру найденного распределения статически эквивалентной системой поверхностных сил.
Аффинное преобразование было определено в п. 6.1 гл. II; в принятых там обозначениях мера деформации 
задается выражением (6.1.3):
где А — тензор, осуществляющий преобразование. Тензор напряжений, определяемый здесь законом состояния в форме Фингера (2.4.1) гл. VIII, записывается в виде
Здесь 
единичный тензор (в декартовой системе осей), 
При обозначениях пп. 5.2, 5.3 гл. II
так как 
Пришли к соотношению
причем выражения инвариантов даются формулами (6.1.8) гл. II, в частности,
Подстановка в (1.1.2) приводит теперь к следующему (указанному Трусделлом) представлению тензора напряжений:
Уравнения статики при отсутствии массовых сил, конечно, удовлетворяются, так как 
постоянный тензор:
Для несжимаемой среды 
тогда
где 
неизвестное всестороннее давление:
Главные значения тензора 
легко выражаются через главные относительные удлинения 
Имеем
Выражения инвариантов записываются в виде 
Тензор напряжений соосен с 
то есть имеет те же главные направления 
обозначая через 
его главные значения:
имеем
и две аналогичные формулы с круговой заменой индексов относительных удлинений 
Эти формулы представляют лишь измененную запись общего соотношения (2.6.6) гл. VIII.
Для несжимаемой среды по (1.1.4)
