1.4. Представление решения в форме Папковича — Нейбера.

Трудность разыскания частных решений системы уравнений теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из искомых функций входит во все три уравнения (1.3.3). Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем (1932) и Г. Нейбером (1934) представлении перемещений через гармонические функции; этим достигается возможность использования хорошо известного «каталога» частных решений уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории упругости, если не целиком, то частично, к одной из классических задач теории гармонических функций (теории потенциала).

Можно предложить большое число представлений вида (1.3.10) для решения однородной системы уравнений теории упругости через гармонические функции; их недостатком, устраненным в решении Папковича — Нейбера, является независимость вводимых гармонических функций.

Пусть В — гармонический вектор, вектор — лапласиан которого равен нулю:

Тогда и проекции этого вектора на оси декартовой системы координат также удовлетворяют уравнению Лапласа:

Было бы, однако, ошибкой распространить это на случай осей криволинейной системы координат; проекции лапласиана от вектора на оси переменного направления отнюдь не равны лапласианам от его проекций на эти оси.

Предполагая, что объемные силы потенциальны:

разыскиваем решение уравнения (1.3.2) в виде

Тогда, замечая, что

и учитывая (1.4.1), приходим к соотношению

которому можно удовлетворить, подчинив выбор уравнению

Общее решение этого уравнения представляется суммой решения уравнения

и какого-либо частного решения уравнения Пуассона

Частное решение уравнения (1.4.6) может быть взято в виде

что легко проверить непосредственным вычислением

так как Общее решение этого уравнения получим, добавив к (1.4.8) произвольный гармонический скаляр, обозначаемый Итак,

и искомое представление решения уравнений теории упругости записывается в виде

причем последнее слагаемое отбрасывается, если объемные силы отсутствуют, а при наличии непотенциальных объемных сил его следует заменить каким-либо частным решением исходных уравнений (1.3.3). Обычно такое частное решение легко найти; существует также общий прием его построения этой главы).

По (II.2.12), (II.2.9) имеем

и это позволяет записать решение Папковича — Нейбера (1.4.10) в видах

Тензор деформации, вычисляемый по решению (1.4.10), равен

Замечая, что градиент вектора, являющегося градиентом скаляра является симметричным тензором, имеем

Поэтому

и, далее,

или, если сослаться на (1.4.9) и (1.4.7),

По (1.1.3) теперь записывается выражение тензора напряжений:

где определяется по объемным силам:

Воспользовавшись еще соотношением

можно представить тензор еще в виде

Замечания. 1. Исходная система однородных уравнений равновесия в перемещениях содержит три неизвестные функции Поэтому приемлемо предположение, что достаточно удержать в решении лишь три из входящих в него гармонических функций Откинув (с целью сохранить симметрию относительно координат), придем к решению

Однако может быть доказано, что в случае односвязной конечной области общее решение уравнений равновесия в перемещениях может быть представлено в таком виде лишь при условии

2. Из уравнений равновесия непосредственно следует, что решением их может служить градиент гармонического скаляра а также ротор гармонического вектора Эти решения малосодержательны, так как ими описываются только деформированные состояния с сохранением объема

3. Легко проверяется, что задание вектора перемещения в форме, предложенной И. С. Аржаных и М. Г. Слободянским,

где В — гармонический вектор, также является решением уравнения равновесия в перемещениях.

Представление (1.4.19) переписывается в виде

и будет решением, если разность его и решения Папковича — Нейбера в форме (1.4.12)

также являются решением уравнений теории упругости в перемещениях; тогда она представима в форме ротора некоторого гармонического вектора Итак, надо проверить, что

Это следует из соотношений

и условия .

М. Г. Слободянским доказано, что (1.4.19) представляет общее решение уравнений теории упругости для односвязной конечной области при любом у (не исключая ; в случае бесконечной области, внешней по отношению к замкнутой поверхности, общим (не исключая является решение (1.4.18).