Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1.4. Представление решения в форме Папковича — Нейбера.
Трудность разыскания частных решений системы уравнений теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из искомых функций
входит во все три уравнения (1.3.3). Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем (1932) и Г. Нейбером (1934) представлении перемещений через гармонические функции; этим достигается возможность использования хорошо известного «каталога» частных решений уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории упругости, если не целиком, то частично, к одной из классических задач теории гармонических функций (теории потенциала).
Можно предложить большое число представлений вида (1.3.10) для решения однородной
системы уравнений теории упругости через гармонические функции; их недостатком, устраненным в решении Папковича — Нейбера, является независимость вводимых гармонических функций.
Пусть В — гармонический вектор, вектор — лапласиан которого равен нулю:
Тогда и проекции этого вектора на оси декартовой системы координат также удовлетворяют уравнению Лапласа:
Было бы, однако, ошибкой распространить это на случай осей криволинейной системы координат; проекции лапласиана от вектора на оси переменного направления отнюдь не равны лапласианам от его проекций на эти оси.
Предполагая, что объемные силы потенциальны:
разыскиваем решение уравнения (1.3.2) в виде
Тогда, замечая, что
и учитывая (1.4.1), приходим к соотношению
которому можно удовлетворить, подчинив выбор
уравнению
Общее решение этого уравнения представляется суммой решения уравнения
и какого-либо частного решения
уравнения Пуассона
Частное решение уравнения (1.4.6) может быть взято в виде
что легко проверить непосредственным вычислением
так как
Общее решение этого уравнения получим, добавив к (1.4.8) произвольный гармонический скаляр, обозначаемый
Итак,
и искомое представление решения уравнений теории упругости записывается в виде
причем последнее слагаемое отбрасывается, если объемные силы отсутствуют, а при наличии непотенциальных объемных сил его следует заменить каким-либо частным решением исходных уравнений (1.3.3). Обычно такое частное решение легко найти; существует также общий прием его построения
этой главы).
По (II.2.12), (II.2.9) имеем
и это позволяет записать решение Папковича — Нейбера (1.4.10) в видах
Тензор деформации, вычисляемый по решению (1.4.10), равен
Замечая, что градиент вектора, являющегося градиентом скаляра
является симметричным тензором, имеем
Поэтому
и, далее,
или, если сослаться на (1.4.9) и (1.4.7),
По (1.1.3) теперь записывается выражение тензора напряжений:
где
определяется по объемным силам:
Воспользовавшись еще соотношением
можно представить тензор
еще в виде
Замечания. 1. Исходная система однородных уравнений равновесия в перемещениях содержит три неизвестные функции
Поэтому приемлемо предположение, что достаточно удержать в решении лишь три из входящих в него гармонических функций
Откинув
(с целью сохранить симметрию относительно координат), придем к решению
Однако может быть доказано, что в случае односвязной конечной области общее решение уравнений равновесия в перемещениях может быть представлено в таком виде лишь при условии
2. Из уравнений равновесия непосредственно следует, что решением их может служить градиент гармонического скаляра
а также ротор гармонического вектора
Эти решения малосодержательны, так как ими описываются только деформированные состояния с сохранением объема
3. Легко проверяется, что задание вектора перемещения в форме, предложенной И. С. Аржаных и М. Г. Слободянским,
где В — гармонический вектор, также является решением уравнения равновесия в перемещениях.
Представление (1.4.19) переписывается в виде
и будет решением, если разность его и решения Папковича — Нейбера в форме (1.4.12)
также являются решением уравнений теории упругости в перемещениях; тогда она представима в форме ротора некоторого гармонического вектора
Итак, надо проверить, что
Это следует из соотношений
и условия
.
М. Г. Слободянским доказано, что (1.4.19) представляет общее решение уравнений теории упругости для односвязной конечной области при любом у (не исключая
; в случае бесконечной области, внешней по отношению к замкнутой поверхности, общим (не исключая
является решение (1.4.18).