2.2. Плоская задача Сен-Венана.

Предполагается, что продольные стороны свободны от нагружения, а поверхностные силы на правом торце статически эквивалентны продольной силе поперечной силе и изгибающему моменту

В задаче о растяжении продольной силой отлично от нуля и равномерно распределено по высоте полосы напряжение тогда как Функция Эри представляется простейшим выражением

Приложение положительного (вращающего от оси х к оси изгибающего момента создает только напряжения сжимающие на верхней части полосы и линейно распределенные по высоте. Сославшись, например, на (1.4.6) гл. VI, имеем

где момент инерции поперечного сечения относительно оси (при единичном размере по толщине). Поэтому

Более сложна задача изгиба поперечной силой прилагаемой на правом торце. Тогда

и можно удовлетворить этим уравнениям и краевым условиям отсутствия напряжений на продольных сторонах приняв

Этим значениям напряжений удовлетворяет бигармоническая функция напряжений

Сославшись на формулы имеем

так что

и перемещения оказываются равными

Постоянные находим из условий обращения в нуль перемещений в точке (0, 0); для определения полагаем, как указывалось в п. 2.2 гл. VI,

— первый случай соответствует заделке примыкающего к точке элемента на оси балки, а второй — заделке элемента в поперечном сечении. Уравнение упругой линии, находимое по второму уравнению (2.2.4) при будет

где слагаемым в квадратной скобке, добавляемым при втором способе заделки, учитывается влияние касательных напряжений на прогиб. Значение этой поправки можно характеризовать величиной ее отношения на конце балки к прогибу конца, вычисляемому при заделке первым способом:

Применимость принципа Сен-Венана предполагает, как указывалось, малость отношения поправка в прогибе на влияние касательных напряжений пропорциональна квадрату этого отношения — это обычный порядок коррективов, вносимых в техническую теорию балки.