5.8. Плоское напряженное состояние.

По определению (1.4.1) этого состояния

и задача осложняется зависимостью напряжений, перемещений и температуры от Как и ранее, лапласиан по двум переменным обозначается по трем

Выражения напряжений (1.2.2) через функцию напряжений, конечно, сохраняются, но последняя теперь зависит и от При учете этого зависимости Бельтрами (1.14.13) гл. IV с температурными слагаемыми записываются в виде

Складывая две первых и используя третью, придем к не содержащему производных по соотношению

позволяющему представить в виде

причем выполняются - пятая и шестая зависимости (5.8.2), а третья может быть приведена к виду

— плоское напряженное состояние осуществимо в условиях стационарного поля температуры.

Теперь остающиеся (первая, вторая, четвертая) зависимости Бельтрами приводятся к виду

Это позволяет считать V решением пространственного уравнения Пуассона

Перемещения определяются из уравнений обобщенного закона Гука

Из них, повторив преобразование п. 5.7, получим

Для определения перемещения исходим из равенств, являющихся очевидным следствием (5.8.1)

и приводимых с помощью (5.8.4), (5.8.7), (5.8.8) к виду

Итак,

В обобщенном плоском напряженном состоянии, приближенно реализуемом в тонкой пластинке, рассматриваются средние значения напряжений, функции напряжений и перемещений. Сохранив для средних значений принятые выше обозначения, перейдем от уравнения (5.8.4) к соотношению, аналогичному

Соответствующие замены в формулах (5.7.8) для напряжений также сведутся к замене

Вектор перемещения дается теперь равенством

отличающимся от (5.7.10), кроме замены (5.8.11), также заменой (1.6.5)