1.7. Перемещения в плоской задаче.
Определение перемещений
сводится к интегрированию системы уравнений (1.6.3), в которых напряжения заменены их выражениями (1.6.1) через бигармоническую функцию напряжений Эри
. Эта система трех уравнений, содержащая две неизвестные функции, интегрируема, поскольку выполнены эквивалентные условиям сплошности зависимости Бельтрами.
Через
обозначается гармоническая функция
а сопряженная с
гармоническая функция — через
и рассматривается функция комплексного переменного, вводимая как неопределенный интеграл над
Заметим, что
определено по
с точностью до вещественной аддитивной постоянной (обозначаемой
поэтому
определено с точностью до аддитивно входящей линейной функции
Имеем по (1.7.2)
и поэтому
Это позволяет заменить (1.6.3) уравнениями
Отсюда находим
и подстановка в третье уравнение (1.7.5) с учетом (1.7.4) дает
так как сумма функций от х и у может быть нулем, если они постоянны (и противоположного знака). Приходим к искомым выражениям перемещений
причем слагаемые вида (1.7.3) представляют перемещение твердой плоской фигуры в ее плоскости:
проекции перемещения какой-либо ее точки,
малый угол поворота вокруг оси
. В плоском напряженном состоянии
заменяется по правилу (1.6.5), так что