1.7. Перемещения в плоской задаче.

Определение перемещений сводится к интегрированию системы уравнений (1.6.3), в которых напряжения заменены их выражениями (1.6.1) через бигармоническую функцию напряжений Эри . Эта система трех уравнений, содержащая две неизвестные функции, интегрируема, поскольку выполнены эквивалентные условиям сплошности зависимости Бельтрами.

Через обозначается гармоническая функция а сопряженная с гармоническая функция — через

и рассматривается функция комплексного переменного, вводимая как неопределенный интеграл над

Заметим, что определено по с точностью до вещественной аддитивной постоянной (обозначаемой поэтому определено с точностью до аддитивно входящей линейной функции

Имеем по (1.7.2)

и поэтому

Это позволяет заменить (1.6.3) уравнениями

Отсюда находим

и подстановка в третье уравнение (1.7.5) с учетом (1.7.4) дает

так как сумма функций от х и у может быть нулем, если они постоянны (и противоположного знака). Приходим к искомым выражениям перемещений

причем слагаемые вида (1.7.3) представляют перемещение твердой плоской фигуры в ее плоскости: проекции перемещения какой-либо ее точки, малый угол поворота вокруг оси . В плоском напряженном состоянии заменяется по правилу (1.6.5), так что