1.10. Аксиально-симметричные задачи. Решение Лява.

В задаче о равновесии тел вращения (п. III. 9) при наличии аксиальной симметрии нагружения (независимости объемных и поверхностных сил от азимутального угла тензор напряжения и вектор перемещения не зависят от а являются функциями координат напряженное состояние одинаково во всех меридиональных плоскостях.

Через обозначаются проекции вектора перемещения на направления базисного триэдра. Тогда

Компоненты тензора деформации распались на две группы — группу относительных удлинений и сдвига и группу двух компонент Распадаются также и уравнения статики — на два уравнения, в которые входят напряжения

и уравнение для напряжений

Нормальные напряжения и касательное напряжение выражаются с помощью обобщенного закона Гука через деформации (1.10.1) первой группы, а касательные напряжения через деформации (1.10.2) второй группы. Поэтому аксиально-симметричная задача распадается на две независимые задачи — во-первых, задачу о деформации в меридиональной плоскости, в которой отсутствует компонента перемещения (но, конечно, имеется нормальное напряжение во-вторых, на задачу кручения. Ею определяется перемещение перпендикулярное меридиональному сечению, не зависящее от азимутального угла

Общее решение задачи о меридиональной аксиально-симметричной деформации может быть выражено через одну бигармоническую функцию — функцию Лява Оно представляет частный случай решения Буссинека — Галеркина (1.7.4), (1.7.5), когда бигармонический вектор задается одной лишь компонентой, направленной по оси симметрии.

В цилиндрических координатах при обозначениях имеем

Здесь

Легко, основываясь на этих формулах, сделать переход к общим координатам тел вращения (п. III. 9). По (III. 9.8) получаем

причем теперь по (III. 5.5)