3.4. Тепловые напряжения в шаре.

Предполагается заданным установившееся распределение температуры на поверхности упругого шара, заключенного в абсолютно твердую оболочку. Иными словами, решение задачи разыскивается по условиям

Здесь сферические функции Лапласа, по которым разлагается гармоническая при функция — температура

Частное решение и, уравнений равновесия в перемещениях, соответствующее наличию в них температурного слагаемого, по (1.14.7) и (1.14.8) гл. IV определяется соотношениями

Достаточно найти какое-либо частное решение х этого уравнения. Оно разыскивается в виде 00

Правая часть представляет однородный гармонический полином. Полагая

имеем

так что

Решение разыскивается в виде суммы

причем вектор представляющий решение однородных уравнений равновесия в перемещениях, по (3.4.1) должен быть определен по краевому условию

Вектор как градиент гармонического скаляра, является гармоническим вектором; поэтому значение его на поверхности

сферы представляет сферический вектор Лапласа порядка Разбивая теперь искомый вектор на два слагаемых:

определяемых краевыми условиями

можно, сославшись на (3.2.10) и учитывая, что сразу же записать выражение в виде

Задача сведена к определению вектора Ограничиваясь рассмотрением случая симметричного распределения температуры по поверхности сферы, имеем теперь требуется заменить вектор

его разложением по сферическим векторам Лапласа. Воспользуемся для этого известными рекуррентными формулами

Тогда, вспомнив определение присоединенных к решений, получим

Величины в скобках представляют сферические векторы Лапласа [см. (VI. 2.10)]. Теперь, введя обозначения

приведем краевое условие (3.4.6) для вектора к виду

Через обозначены здесь единичные векторы цилиндрической системы координат Компоненту в краевом условии соответствуют два гармонических вектора:

причем По (3.2.10) и (3.4,4) - (3,4.7) решение задачи дается равенством

где

Пусть, например, температура поверхности — линейная функция:

По такому же линейному закону она, очевидно, изменяется внутри тела:

Вычисление по вышеприведенным формулам дает

что просто проверить по (1.14.3) гл. IV; по (1.14.1) гл. IV легко вычисляются также напряжения,